Задание 10 из 66Многогранники и сечения

Линия №15 · Повышенный уровень

В основании пирамиды $S A BC D$ лежит трапеция $A BC D$ с основаниями $A D$ и $BC,$ равными 8 и 3 соответственно. Точки $M$ и $N$ лежат на рёбрах $S D$ и $BC$ соответственно, причём $SM : M D = 3 : 2,$ $BN : NC = 1 : 2.$ Плоскость $A MN$ пересекает ребро $SC$ в точке $K .$ а) Докажите, что $S K : K C = 6 : 1.$ б) Плоскость $A MN$ делит пирамиду $S A BC D$ на два многогранника. Найдите отношение их объёмов.

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 8EEB4F

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Задание ФИПИ 8EEB4F по стереометрии. В решении необходимо обосновать пункт а), а затем выполнить вычисления пункта б) с использованием пространственных свойств фигуры.

Ключевая идея: Построить сечение или вспомогательные перпендикуляры, обосновать пространственные отношения и свести вычисление к планиметрии, координатам либо объёмам..

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Пример решения №1

Решение

а) Пусть

AN

пересекает

CD

в точке

Q

. Из условия

BN : NC = 1 : 2

BC=3

, значит

BN=1, NC =2

\triangle NQC \sim \triangle AQD

(по двум углам), тогда

\frac{QC}{QD}=\frac{NC}{AD}=\frac{2}{8}= \frac{1}{4}

По теореме Менелая для

\triangle DSC

и прямой

QM

\frac{DM}{MS}\cdot \frac{SK}{KC} \cdot \frac{CQ}{QD} =1 \Leftrightarrow \frac{2}{3}\cdot \frac{SK}{KC}\cdot \frac{1}{4}=1 \Leftrightarrow \frac{SK}{KC}= \frac{6}{1}

Что и требовалось доказать.

Схема к решению стереометрической задачи

б) Пусть

V_{SABCD}=V=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot SO

h

- высота трапеции

ABCD

, точки

O

H

- основания высот, проведённых из

S

M

соответственно, на плоскость основания. По теореме Менелая для

\triangle QMD

и прямой

SC

\frac{QC}{CD}\cdot \frac{DS}{SM} \cdot \frac{MK}{KQ}=1 \Leftrightarrow \frac{1}{3}\cdot \frac{5}{3}\cdot \frac{MK}{KQ} =1 \Leftrightarrow \frac{MK}{KQ} = \frac{9}{5}.

По теореме об отношении тетраэдров с общим трёхгранным углом:

\frac{V_{QNKC}}{V_{QAMD}} = \frac{QN}{QA}\cdot \frac{QK}{QM}\cdot \frac{QC}{QD} = \frac{1}{4}\cdot \frac{5}{14} \cdot \frac{1}{4}= \frac{5}{224}.

S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot h = \frac{11h}{2},\, S_{ANCD} = \frac{NC+AD}{2}h=5h,

S_{NQC} = \frac{1}{15}S_{ANCD}=\frac{5h}{15}=\frac{h}{3}

, так как

\triangle NQC \sim \triangle AQD

с коэффициентом подобия

k = \frac{1}{4}

. Из подобия

\triangle MHD

\triangle SOD

\frac{MH}{SO}=\frac{MD}{SD}=\frac{2}{5} \Leftrightarrow MH = \frac{2}{5}SO

V_{MAQD} = \frac{1}{3} (S_{ANCD} + S_{NQC} )\cdot MH = \frac{1}{3}\cdot \left(5h + \frac{h}{3} \right) \cdot \frac{2}{5}SO=\frac{16}{9}h\cdot \frac{2}{5}SO = \frac{32}{45}SO \cdot h

V_{SABCD} = \frac{1}{3} \cdot\frac{11}{2}h \cdot SO= \frac{11}{6}h\cdot SO

\frac{V_{MAQD}}{V_{SABCD}} = \frac{\frac{32}{45}h\cdot SO}{\frac{11}{6}h\cdot SO} = \frac{32}{45} \cdot \frac{6}{11}=\frac{64}{165} \Rightarrow V_{MAQD} = \frac{64}{165}V_{SABCD}= \frac{64}{165}V

Тогда

V_{QNKC} = \frac{5}{224} \cdot V_{QAMD} = \frac{5}{224} \cdot \frac{64}{165}V = \frac{2}{231}V

, значит

V_{NKCAMD} = V_{QAMD} - V_{QNKC} = \frac{64}{165}V - \frac{2}{231}V=\frac{146}{385}V

. Объем оставшейся части равен

V- \frac{146}{385}V = \frac{239}{385}V

. Тогда отношение объемов двух многогранников, на которые плоскость

AMN

делит пирамиду

SABCD

составит

146 : 239

Ответ: б)

146 : 239

Ответ: б)

146 : 239

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
Сечения, подобие и теорема о трёх перпендикулярах
Площади, объёмы и расстояния в стереометрии

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Использовать свойство по рисунку без доказательства
Перепутать пространственный и линейный угол
Не проверить, что построенная точка принадлежит нужному ребру или плоскости

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для пункта а) приведено полное геометрическое обоснование?
2Все вспомогательные точки и плоскости определены однозначно?
3Ответ пункта б) следует из записанных формул без необоснованных переходов?

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №15Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена