Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $B{D}_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб. а) Докажите, что грань $ABCD$ $-$ квадрат. б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $BC{C}_1$, если $A{A}_1=6$, $AB=4$.

а) Отрезки и являются диагоналями параллелепипеда следовательно, они пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Обозначим точку их пересечения за

Так как а то Кроме того, то есть точка лежит в плоскости

Проведём в плоскости через точку прямую параллельную Пусть — точка пересечения этой прямой с ребром а — с ребром

В треугольнике отрезок параллелен стороне и проходит через середину стороны следовательно, — средняя линия треугольника Тогда — середина стороны

В треугольнике отрезок параллелен стороне и проходит через середину стороны следовательно, — средняя линия треугольника Поэтому — середина стороны

Так как и то прямая либо параллельна плоскости либо лежит в ней. Точка принадлежит одновременно прямой и плоскости поэтому прямая лежит в плоскости

Таким образом, плоскость проходит через пересекающиеся прямые и

Соединив последовательно точки и получим искомое сечение — четырёхугольник По условию сечение является ромбом, следовательно, его стороны равны:

Докажем, что Отсюда будет следовать, что — квадрат, так как в прямоугольном параллелепипеде основание — прямоугольник.

По теореме Пифагора для и имеем:

Так как и — середины равных боковых рёбер и то

Из равенства получаем:

Следовательно, — квадрат. Что и требовалось доказать.

б) Плоскость пересекается с плоскостью по прямой Проведём в плоскости прямую Заметим, что точка будет лежать на продолжении за точку

Ребро прямоугольного параллелепипеда перпендикулярно грани а — проекция наклонной на эту грань. Так как то по теореме о трёх перпендикулярах наклонная Следовательно, угол — линейный угол двугранного угла между плоскостями и Обозначим его за

Так как — середина то

По теореме Пифагора для имеем:

Рассмотрим треугольники и Их углы и прямые, углы и равны как вертикальные. Следовательно, треугольники и подобны по двум углам. Запишем для них отношение подобия:

В прямоугольном треугольнике имеем:

Тогда:

Таким образом, угол между плоскостями и равен