Задание 18 из 66Многогранники и сечения

Линия №15 · Повышенный уровень

В правильной треугольной призме $A BC A_{1} B_{1} C_{1}$ известно, что $A B = 2.$ Плоскость $α$ проходит через вершины $A_{1}$ и $B$ и середину $M$ ребра $C C_{1} .$ а) Докажите, что сечение призмы $A BC A_{1} B_{1} C_{1}$ плоскостью $α$ является равнобедренным треугольником. б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения плоскостью $α$ равна $6.$

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 727800

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Задание ФИПИ 727800 по стереометрии. В решении необходимо обосновать пункт а), а затем выполнить вычисления пункта б) с использованием пространственных свойств фигуры.

Ключевая идея: Построить сечение или вспомогательные перпендикуляры, обосновать пространственные отношения и свести вычисление к планиметрии, координатам либо объёмам..

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Пример решения №1

Решение

а) Так как

MC=MC_1

AC=B_1C_1

\angle MC_1B_1 = \angle MCA = 90^\circ

, то

\triangle MC_1B_1 = \triangle ACM \Rightarrow MB_1 = AM \Rightarrow \triangle AMB_1

- равнобедренный.

Схема к решению стереометрической задачи

Что и требовалось доказать. б) Проведём высоту

MH

в равнобедренном

\triangle AMB_1

. Пусть

CM=MC_1=x

, тогда

BB_1=2x

. По теореме Пифагора в

\triangle MC_1B_1

MB_1=\sqrt{x^2+4}

, тогда

AM = MB_1 = \sqrt{x^2+4}

. Так как

MH

- высота в равнобедренном треугольнике

AMB_1

, то

MH

- медиана, следовательно,

AH = HB_1=\frac{1}{2}AB_1

По теореме Пифагора в

\triangle AA_1B_1

AB_1 = \sqrt{4x^2+4}

, тогда

HB_1 = \frac{1}{2}\sqrt{4x^2+4}=\sqrt{x^2+1}

. По теореме Пифагора в

\triangle MHB_1

MH = \sqrt{MB_1^2-HB_1^2}= \sqrt{x^2+4-x^2-1}=\sqrt{3}

. По условию

S_{\alpha} = S_{AMB_1} = \frac{1}{2}MH\cdot AB_1 = 6

, тогда:

\frac{1}{2}\sqrt{3} \cdot2\sqrt{x^2+1}=6; \\ \sqrt{3(x^2+1)}=6; \\ 3(x^2+1)=36; \\ x^2+1 = 12; \\ x^2=11; \\ x = \sqrt{11}.

Следовательно,

BB_1=2x=2\sqrt{11}.

Ответ: б)

2\sqrt{11}

Ответ: б)

2\sqrt{11}

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
Сечения, подобие и теорема о трёх перпендикулярах
Площади, объёмы и расстояния в стереометрии

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Использовать свойство по рисунку без доказательства
Перепутать пространственный и линейный угол
Не проверить, что построенная точка принадлежит нужному ребру или плоскости

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для пункта а) приведено полное геометрическое обоснование?
2Все вспомогательные точки и плоскости определены однозначно?
3Ответ пункта б) следует из записанных формул без необоснованных переходов?

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №15

Все задания линии №15 →

Многогранники и сеченияВ основании правильной треугольной пирамиды ABCD ABC со стороной, равной 6. Боковое ребро…FIPI ID 30ED04 Многогранники и сеченияВ основании правильной треугольной пирамиды ABCD ABC со стороной, равной 5. Боковое ребро…FIPI ID 149319 Многогранники и сеченияВ основании прямой треугольной призмы ABCA_(1)B_(1)C_(1) AB=BC ABC K — A_(1)B_(1) M AC…FIPI ID F7B7A1 Многогранники и сеченияНа ребре AA_(1) ABCDA_(1)B_(1)C_(1)D_(1) E так, что A_(1)E:EA=1:2 BB_(1) — F B_(1)F:FB=1:5 Т…FIPI ID E95564 Многогранники и сеченияВ основании пирамиды SABCD ABCD AB=5 BD=9 На диагонали BD ABCD E AS — F SF=BE=4 а) Докажите…FIPI ID EA6B32 Многогранники и сеченияВ правильной четырёхугольной пирамиде [ИЗОБРАЖЕНИЕ 1] сторона основания [ИЗОБРАЖЕНИЕ 2]…FIPI ID 03B44B

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №15Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена