В основании прямой призмы $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ лежит равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=3$ и $BC=2.$ Точка $M$ делит ребро $A_1{D}_1$ в отношении $A_{1}M:M{D}_1=1:2,$ а точка $K$ $-$ середина ребра $D{D}_1.$ а) Докажите, что плоскость $MKC$ делит отрезок $B{B}_1$ пополам. б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $MKC,$ если $\angle MKC=90^{\circ },$ $\angle ADC=60^{\circ }.$

а) Так как и то грани и параллельны. Следовательно, плоскость пересечет их по параллельным прямым. Значит, плоскость пересечет грань по прямой где — точка на ребре

Из условия следует, что Пусть также Углы и равны как углы между попарно параллельными прямыми. Следовательно, по катету и острому углу равны и так как Следовательно, Значит, — середина ребра Что и требовалось доказать.

б) Достроим сечение. Продлим до пересечения с прямой в точке Тогда точка являющаяся точкой пересечения и является одной из вершин сечения призмы плоскостью Следовательно, — сечение призмы плоскостью

Так как основания и – равные равнобедренный трапеции, то их углы при основаниях и равны:

Так как и то — параллелограмм. Следовательно, Следовательно, равнобедренный с углом значит, он равносторонний и Следовательно,

По теореме Пифагора для треугольника имеем:

Так как и то — прямоугольник, следовательно, и прямоугольный с Также

следовательно, откуда

По теореме Пифагора для треугольника имеем:

Проведем Так как а то – прямоугольник. Его противоположные стороны равны:

Кроме того, имеем:

Tреугольник прямоугольный и по теореме Пифагора имеем:

Тогда по теореме Пифагора для получаем

Из следует, что следовательно, Так как треугольник прямоугольный, то

Так как то

Следовательно, так как к тому же — прямоугольник, получаем, что площадь сечения равна