В основании прямой призмы $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ лежит параллелограмм $ABCD.$ На рёбрах $A_1{B}_1,$ $B_1{C}_1$ и $BC$ отмечены точки $M,$ $K$ и $N$ соответственно, причём $B_{1}K:K{C}_1=1:2.$ Четырёхугольник $AMKN$ $-$ равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3. а) Докажите, что точка $N$ $-$ середина ребра $BC.$ б) Найдите площадь трапеции $AMKN,$ если объём призмы равен 12, а высота призмы равна 2.

а) Боковые грани прямой призмы перпендикулярны основаниям, следовательно, В плоскости проведём

Основания и прямой призмы параллельны. Отрезки и перпендикулярны плоскости следовательно, они являются расстояниями между параллельными плоскостями оснований и потому равны.

Так как как боковые стороны равнобедренной трапеции то прямоугольные треугольники и равны по гипотенузе и катету. Тогда равны и их вторые катеты:

Пусть также тогда

Прямые и перпендикулярны плоскостям и а значит, перпендикулярны и прямым и лежащим в этих плоскостях. Тогда все углы четырехугольника прямые, то есть – прямоугольник. Его противоположные стороны равны:

Заметим, что

Рассмотрим треугольники и Их угол – общий, углы и равны как соответственные при и секущей Тогда треугольники и подобны по двум угла. Из отношения подобия получаем:

Следовательно,

Так как и то откуда — середина Что и требовалось доказать.

б) Чтобы найти площадь трапеции учитывая, что ее основания известны, нужно найти ее высоту. Проведем Тогда по теореме о трех перпендикулярах Следовательно, — искомая высота.

По условию следовательно,

По обобщенной теореме Фалеса для угла имеем:

Следовательно,

Значит, отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник Его углы и равны. Углы и равны как накрест лежащие при и секущей Тогда

Значит, — биссектриса угла

Проведём Тогда – параллелограмм. Так как его диагональ также является биссектрисой, то – ромб.

Значит, как диагонали ромба. Так как то площадь ромба равна:

По формуле площади ромба имеем:

Тогда

Так как то по обобщенной теореме Фалеса для угла имеем:

Так как отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными прямыми, равны, то Следовательно, по теореме Пифагора из

Следовательно,