Задание 37 из 66Многогранники и сечения

Линия №15 · Повышенный уровень

Основанием четырёхугольной пирамиды $S A BC D$ является прямоугольник $A BC D$ , причём $A B = 22$ , $BC = 4$ . Основанием высоты пирамиды является центр прямоугольника. Из вершин $A$ и $C$ опущены перпендикуляры $A P$ и $CQ$ на ребро $SB$ . а) Докажите, что $P$ $-$ середина отрезка $BQ$ . б) Найдите угол между гранями $SB A$ и $SBC$ , если $S D = 4$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: C185DD

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Задание ФИПИ C185DD по стереометрии. В решении необходимо обосновать пункт а), а затем выполнить вычисления пункта б) с использованием пространственных свойств фигуры.

Ключевая идея: Построить сечение или вспомогательные перпендикуляры, обосновать пространственные отношения и свести вычисление к планиметрии, координатам либо объёмам..

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Пример решения №1

Решение

а) Пусть

O

- центр прямоугольника(точка пересечения диагоналей), тогда

SO

- высота пирамиды

SABCD

. Так как диагонали прямоугольна равны и точкой пересечения делятся пополам, то

AO=BO=OC=OD

, а значит

\triangle SOA = \triangle SOB = \triangle SOC = \triangle SOD \Rightarrow SA=SB=SC=SD

. Пусть боковое ребро пирамиды

SA = x

, тогда из

\triangle ASB

\cos \angle ABS = \frac{MB}{BS}= \frac{BP}{AB} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{x}=\frac{BP}{2\sqrt{2}} \Leftrightarrow BP = \frac{4}{x}.

Теперь в треугольнике

BSC

\cos \angle SBC = \frac{BK}{SB}= \frac{QB}{BC} \Leftrightarrow \frac{2}{x} = \frac{QB}{4} \Leftrightarrow QB = \frac{8}{x}.

Следовательно,

QB = 2 BP \Rightarrow P

- середина

BQ

Схема к решению стереометрической задачи

б) По условию

SD = x = 4

, тогда

BP = 1, QB = 2

SB

- линия пересечения плоскостей

SBA

SBC

AP \perp SB

, тогда проведём

PH \perp SB

, тогда

\angle APB

- искомый. Заметим, что

QC \perp SB \Rightarrow PH \parallel QC

P

- середина

BQ

, следовательно,

PH

- средняя линия

\triangle BQC

H

- середниа

BC

. По теореме Пифагора для

\triangle APB

AP = \sqrt{AB^2-BP^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2-1^2}= \sqrt{7}

По теореме Пифагора для

\triangle BPH

PH = \sqrt{BH^2-BP^2}=\sqrt{(2)^2-1^2}= \sqrt{3}

По теореме Пифагора для

\triangle ABH

AH = \sqrt{BH^2+AB^2}=\sqrt{2^2+(2\sqrt{2})^2}= 2\sqrt{3}

По теореме косинусов для

\triangle APH

AH^2=AP^2+PH^2-2AP\cdot PH \cdot \cos \angle APH

(2\sqrt{3})^2= \sqrt{7}^2+\sqrt3^2-2\sqrt{7}\cdot \sqrt{3}\cdot\cos \angle APH

2\sqrt{21}\cos \angle APH = -2 \Leftrightarrow \cos \angle APH = - \frac{1}{\sqrt{21}}

В итоге

\angle APH = -\arccos\frac{1}{\sqrt{21}}

Ответ б)

-\arccos \frac{1}{\sqrt{21}}

Ответ: б)

-\arccos \frac{1}{\sqrt{21}}

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
Сечения, подобие и теорема о трёх перпендикулярах
Площади, объёмы и расстояния в стереометрии

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Использовать свойство по рисунку без доказательства
Перепутать пространственный и линейный угол
Не проверить, что построенная точка принадлежит нужному ребру или плоскости

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для пункта а) приведено полное геометрическое обоснование?
2Все вспомогательные точки и плоскости определены однозначно?
3Ответ пункта б) следует из записанных формул без необоснованных переходов?

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №15Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена