Задание 36 из 66Многогранники и сечения

Линия №15 · Повышенный уровень

В правильной четырёхугольной пирамиде $S A BC D$ сторона основания $A B$ равна 6, а боковое ребро $S A$ равно 7. На рёбрах $C D$ и $SC$ отмечены точки $N$ и $K$ соответственно, причём $D N : NC = S K : K C = 1 : 2$ . Плоскость $α$ содержит прямую $K N$ и параллельна прямой $BC$ . а) Докажите, что плоскость $α$ параллельна прямой $S A$ . б) Найдите угол между плоскостями $α$ и $SBC$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 142CDC

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Задание ФИПИ 142CDC по стереометрии. В решении необходимо обосновать пункт а), а затем выполнить вычисления пункта б) с использованием пространственных свойств фигуры.

Ключевая идея: Построить сечение или вспомогательные перпендикуляры, обосновать пространственные отношения и свести вычисление к планиметрии, координатам либо объёмам..

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Пример решения №1

Решение

а) Проведём прямые

LK

MN

, параллельные прямой

BC

, и соединим точки

L

M

, таким образом

KNML

искомое плоскость

\alpha

. По теореме о пропорциональных отрезках для

\angle BSC

LK \parallel BC

\frac{SK}{KC} = \frac{SL}{LB}=\frac{1}{2}=\frac{AM}{MB} \Rightarrow LM \parallel AS \Rightarrow AS \parallel \alpha

Схема к решению стереометрической задачи

б) Заметим, что

MN \parallel AD

KN \parallel SD

, значит

\alpha \parallel SAD

, следовательно, угол между

\alpha

SBC

равен углу между

SAD

SBC

, то есть

\angle QSH=2\angle QSO

, где

Q

- середина

AD

, а

O

- основание высоты

SO

. Таким образом

\sin \angle QSO = \frac{OQ}{SQ}

OQ = \frac{1}{2}AB=3

, по теореме Пифагора для

\triangle AQS

SQ= \sqrt{AS^2-AQ^2}=\sqrt{49-9}= \sqrt{40}=2\sqrt{10}

В итоге

\sin \angle QSO = \frac{OQ}{SQ}=\frac{3}{2\sqrt{10}} \Rightarrow\angle QSO = \arcsin \frac{3}{2\sqrt{10}}

\angle(\alpha ; SBC) = 2\angle QSO = 2\arcsin \frac{3}{2\sqrt{10}}

Ответ: б)

2\arcsin \frac{3}{2\sqrt{10}}

Ответ: б)

2\arcsin \frac{3}{2\sqrt{10}}

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
Сечения, подобие и теорема о трёх перпендикулярах
Площади, объёмы и расстояния в стереометрии

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Использовать свойство по рисунку без доказательства
Перепутать пространственный и линейный угол
Не проверить, что построенная точка принадлежит нужному ребру или плоскости

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для пункта а) приведено полное геометрическое обоснование?
2Все вспомогательные точки и плоскости определены однозначно?
3Ответ пункта б) следует из записанных формул без необоснованных переходов?

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №15

Все задания линии №15 →

Многогранники и сеченияВ основании правильной треугольной пирамиды ABCD ABC со стороной, равной 6. Боковое ребро…FIPI ID 30ED04 Многогранники и сеченияВ основании правильной треугольной пирамиды ABCD ABC со стороной, равной 5. Боковое ребро…FIPI ID 149319 Многогранники и сеченияВ основании прямой треугольной призмы ABCA_(1)B_(1)C_(1) AB=BC ABC K — A_(1)B_(1) M AC…FIPI ID F7B7A1 Многогранники и сеченияНа ребре AA_(1) ABCDA_(1)B_(1)C_(1)D_(1) E так, что A_(1)E:EA=1:2 BB_(1) — F B_(1)F:FB=1:5 Т…FIPI ID E95564 Многогранники и сеченияВ основании пирамиды SABCD ABCD AB=5 BD=9 На диагонали BD ABCD E AS — F SF=BE=4 а) Докажите…FIPI ID EA6B32 Многогранники и сеченияВ правильной четырёхугольной пирамиде [ИЗОБРАЖЕНИЕ 1] сторона основания [ИЗОБРАЖЕНИЕ 2]…FIPI ID 03B44B

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №15Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена