Задание 4 из 66Многогранники и сечения

Линия №15 · Повышенный уровень

На ребре $A A_{1}$ прямоугольного параллелепипеда $A BC D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ взята точка $E$ так, что $A_{1} E : E A = 1 : 2$ , на ребре $B B_{1}$ $-$ точка $F$ так, что $B_{1} F : FB = 1 : 5$ , а точка Т $-$ середина ребра $B_{1} C_{1}$ . Известно, что $A B = 2$ , $A D = 6$ , $A A_{1} = 6$ . а) Докажите, что плоскость $EFT$ проходит через вершину $D_{1}$ . б) Найдите угол между плоскостью $EFT$ и плоскостью $A A_{1} B_{1}$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: E95564

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Задание ФИПИ E95564 по стереометрии. В решении необходимо обосновать пункт а), а затем выполнить вычисления пункта б) с использованием пространственных свойств фигуры.

Ключевая идея: Построить сечение или вспомогательные перпендикуляры, обосновать пространственные отношения и свести вычисление к планиметрии, координатам либо объёмам..

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Пример решения №1

Решение

а) Сечение плоскостью

(EFT)

пересекает параллельные плоскости

(AA_1D_1)

(BB_1C_1)

по параллельным прямым. Из условия получаем, что

A_1E=\frac{1}{3}AA_1=2,\, EA=4,\, B_1F = \frac{1}{6}BB_1=1,\, BF=5

. Значит

\triangle FB_1T \sim \triangle EA_1D

, т.к.

\frac{B_1F}{A_1E}=\frac{B_1T}{A_1D_1}=\frac{1}{2}

, то есть

\angle B_1FT = \angle A_1ED_1 \Rightarrow FT \parallel ED_1 \Rightarrow D_1 \in (EFT)

Схема к решению стереометрической задачи

б) Так как прямая

A_1D_1

перпендикулярна плоскости

AA_1B_1

опустим перпендикуляр

A_1H

из точки

A_1

на прямую

EF

пересечения этих плоскостей (

EFT

AA_1B_1

). Таким образом

A_1D_1

- перпендикуляр на плоскость

AA_1B_1

A_1H

- проекция,

D_1H

- наклонная, тогда по теореме о трёх перпендикулярах

D_1H \perp FE

, следовательно,

\angle D_1HA_1

- искомый. Рассмотрим планиметрический рисунок плоскости

AA_1B_1B

: Проведём

FR \perp A_1E

A_1B_1FR

- прямоугольник,

A_1R = RE = 1

EF = \sqrt{FT^2+TE^2}= \sqrt{5}

\sin \angle A_1EF = \frac{A_1H}{A_1E} = \frac{FR}{EF} \Rightarrow A_1H = \frac{A_1E \cdot FT}{EF}= \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{5}}=\frac{4}{\sqrt{5}}

\tg \angle A_1HD_1 = \frac{A_1D_1}{A_1H}= \frac{3\sqrt{5}}{2} \Rightarrow \angle A_1HD_1= \arctg \frac{3\sqrt{5}}{2}

Ответ б)

\arctg \frac{3\sqrt5}{2}

Ответ: б)

\arctg \frac{3\sqrt5}{2}

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
Сечения, подобие и теорема о трёх перпендикулярах
Площади, объёмы и расстояния в стереометрии

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Использовать свойство по рисунку без доказательства
Перепутать пространственный и линейный угол
Не проверить, что построенная точка принадлежит нужному ребру или плоскости

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для пункта а) приведено полное геометрическое обоснование?
2Все вспомогательные точки и плоскости определены однозначно?
3Ответ пункта б) следует из записанных формул без необоснованных переходов?

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №15

Все задания линии №15 →

Многогранники и сеченияВ основании правильной треугольной пирамиды ABCD ABC со стороной, равной 6. Боковое ребро…FIPI ID 30ED04 Многогранники и сеченияВ основании правильной треугольной пирамиды ABCD ABC со стороной, равной 5. Боковое ребро…FIPI ID 149319 Многогранники и сеченияВ основании прямой треугольной призмы ABCA_(1)B_(1)C_(1) AB=BC ABC K — A_(1)B_(1) M AC…FIPI ID F7B7A1 Многогранники и сеченияВ основании пирамиды SABCD ABCD AB=5 BD=9 На диагонали BD ABCD E AS — F SF=BE=4 а) Докажите…FIPI ID EA6B32 Многогранники и сеченияВ правильной четырёхугольной пирамиде [ИЗОБРАЖЕНИЕ 1] сторона основания [ИЗОБРАЖЕНИЕ 2]…FIPI ID 03B44B Многогранники и сеченияВ правильной четырёхугольной пирамиде SABCD ABCD O — M — SC, K BC BK:KC=3:1, AB=2…FIPI ID 04294C

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №15Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена