В правильной треугольной призме $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ отметили точки $M$ и $K$ на рёбрах $A{A}_1$ и $A_1{B}_1$ соответственно. Известно, что $A_{1}M=2MA,$ $A_{1}K=K{B}_1.$ Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $\alpha$ перпендикулярно грани $AB{B}_1{A}_1.$ а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершину $C_1.$ б) Найдите площадь сечения призмы $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ плоскостью $\alpha ,$ если все рёбра призмы равны $12.$

а) Так как призма правильная, то — равносторонний треугольник. Следовательно, медиана является также и высотой треугольника . Отсюда

Также так как то

Получили, что перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости следовательно,

Так как и то Что и требовалось доказать.

б) Выше мы доказали, что Но тогда следовательно, — прямоугольный треугольник и его площадь можно найти по формуле:

Так как все ребра призмы равны 12, то Далее, из того, что получаем

Тогда по теореме Пифагора для

По теореме Пифагора для

Тогда искомая площадь равна