Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
↪ВойтиЧерез VK ID
Меню
Задание 9 из 66Тела и поверхности вращения
Линия №15 · Повышенный уровень

Различные точки и лежат на окружности основания конуса с вершиной так, что отрезок является её диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен а) Докажите, что б) Найдите объём тетраэдра если

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 6B5C41

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Задание ФИПИ 6B5C41 по стереометрии. В решении необходимо обосновать пункт а), а затем выполнить вычисления пункта б) с использованием пространственных свойств фигуры.

Ключевая идея: Построить сечение или вспомогательные перпендикуляры, обосновать пространственные отношения и свести вычисление к планиметрии, координатам либо объёмам..
Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ
Пример решения №1

Решение

а) Пусть точка O — центр основания конуса, то есть центр окружности основания. Тогда SO — его высота, значит, SO ⊥ CO. Следовательно, так как SC — образующая конуса, то имеем:

CO = SC cos∠SCO = SC cos60∘ = 1SC. 2

Запишем теорему косинусов для треугольника ASC :

AC2 = SA2+ SC2 − 2⋅SA ⋅SCcos∠ASC = = 2SC2 − 2SC2 cos∠ASC.

Запишем теорему косинусов для треугольника BSC :

BC2 = SB2+ SC2 − 2⋅SB ⋅SC cos∠CSB = 2 2 = 2SC − 2SC cos∠CSB.

PIC

Сложим два полученных равенства:

AC2 + BC2 = 4SC2 − 2SC2 (cos∠ASC + cos∠CSB ) (1).

Рассмотрим треугольник ABC. В нем угол ACB равен 90∘, так как он опирается на диаметр AB окружности основания. Тогда по теореме Пифагора

AC2 + BC2 = AB2 = (2CO )2 = ( )2 (2) = 4CO2 = 4 1SC =SC2. 2

Приравняем правые части (1) и (2):

SC2 = 4SC2 − 2SC2(cos∠ASC + cos∠CSB ) 3 cos∠ASC +cos∠CSB = 2.

б) По предыдущему пункту имеем:

( ) AC2 = 2SC2 − 2SC2cos∠ASC = 2SC2 1− 2 = 2 3 3 √6- AC = 3 .

Рассмотрим треугольник SOC. Он прямоугольный с углом ∘ ∠SCO = 60 . Тогда

1 1 CO = 2 SC = 2 = AO = BO √3- √3- SO = 2 SC = 2 .

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. В нем AB = AO + BO = 1 и 2 AC2 = 3. Тогда по теореме Пифагора

∘---------- BC = AB2 − AC2 = ∘----2 √3- = 1 − 3 =-3-.

PIC

Тогда можем найти объем SABC :

VSABC = 1 ⋅SO ⋅SABC = 3 = 1⋅SO ⋅ 1 ⋅AC ⋅BC = 3√ - √2- √ - = 1⋅--3⋅--6⋅--3= √1-. 6 2 3 3 6 6
Ответ:

б) -1-- 6√6

Пример решения №2

Решение

а) Так как точки AA и BB - диаметрально противоположные, то △SAB\triangle SAB - равнобедренный, следовательно, ∠SAB=∠SBA=60∘\angle SAB = \angle SBA = 60^\circ как углы при основании. Значит, △SAB\triangle SAB - правильный, AB=SA=SBAB = SA =SB. При этом SA=SC=SBSA =SC = SB как образующие конуса. Получаем, что треугольники SACSAC и SBCSBC равнобедренные.
Схема к решению стереометрической задачи
По теореме косинусов в △SAC\triangle SAC: AC2=SA2+SC2−2⋅SA⋅SC⋅cos⁡∠ASC;AC^2 = SA^2 +SC^2 - 2\cdot SA \cdot SC \cdot \cos \angle ASC; cos⁡∠ASC=SA2+SC2−AC22⋅SA⋅SC=AB2+AB2−AC22⋅AB2=2AB2−AC22AB2.\cos \angle ASC = \frac{SA^2 + SC^2 - AC^2}{2 \cdot SA \cdot SC}= \frac{AB^2 + AB^2 - AC^2}{2 \cdot AB^2}= \frac{2AB^2 - AC^2}{2AB^2}. Аналогично по теореме косинусов в △SBC\triangle SBC получаем: cos⁡∠BSC=SB2+SC2−BC22⋅SB⋅SC=2AB2−BC22AB2.\cos \angle BSC = \frac{SB^2 + SC^2 - BC^2}{2 \cdot SB \cdot SC}= \frac{2AB^2 - BC^2}{2AB^2}. Тогда cos⁡∠ASC+cos⁡∠BSC=2AB2−AC22AB2+2AB2−BC22AB2=4AB2−(AC2+BC2)2AB2\cos \angle ASC + \cos \angle BSC = \frac{2AB^2 - AC^2}{2AB^2} + \frac{2AB^2 - BC^2}{2AB^2} = \frac{4AB^2-(AC^2+BC^2)}{2AB^2}. Так как ABAB - диаметр, то ∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ как вписанный угол, опирающийся на диаметр. Тогда △ABC\triangle ABC - прямоугольный и по теореме Пифагора: AB2=AC2+BC2AB^2=AC^2+BC^2. Следовательно, cos⁡∠ASC+cos⁡∠BSC=4AB2−AB22AB2=3AB22AB2=32.\cos \angle ASC + \cos \angle BSC = \frac{4AB^2-AB^2}{2AB^2} = \frac{3AB^2}{2AB^2} = \frac{3}{2}. Что и требовалось доказать. б) Пусть точка OO - центр основания конуса, тогда SOSO - высота конуса и тетраэдра SABCSABC, так как SO⊥ABCSO \perp ABC.
Схема к решению стереометрической задачи
SOSO - высота правильного △SAB\triangle SAB, следовательно, SO=AB32=SC32=32SO = \frac{AB\sqrt{3}}{2} = \frac{SC\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}. Из пункта а) получаем, что cos⁡∠ASC+cos⁡∠BSC=32\cos \angle ASC + \cos \angle BSC = \frac{3}{2}, тогда cos⁡∠BSC=32−cos⁡∠ASC=32−23=56\cos \angle BSC = \frac{3}{2} - \cos \angle ASC = \frac{3}{2}-\frac{2}{3} = \frac{5}{6}. По теореме косинусов в △SAC\triangle SAC: AC2=1+1−2⋅1⋅1⋅23=2−43=23⇒AC=23=63.AC^2 = 1+1-2\cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{2}{3}= 2-\frac{4}{3}= \frac{2}{3} \Rightarrow AC = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}. По теореме косинусов в △SBC\triangle SBC: BC2=1+1−2⋅1⋅1⋅56=2−53=13⇒BC=13=33.BC^2 = 1+1-2\cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{5}{6}= 2-\frac{5}{3}= \frac{1}{3} \Rightarrow BC = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}. Тогда VSABC=13⋅SABC⋅SO=13⋅12AC⋅BC⋅SO=16⋅63⋅33⋅32=3636⋅3=636.V_{SABC}= \frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot SO = \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}AC \cdot BC \cdot SO = \frac{1}{6}\cdot \frac{\sqrt{6}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}= \frac{3\sqrt{6}}{36 \cdot 3} = \frac{ \sqrt{6}}{36}. Ответ: б) 636\frac{ \sqrt{6}}{36}.
Ответ: б) 636\frac{ \sqrt{6}}{36}.
Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач
  • Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
  • Сечения, подобие и теорема о трёх перпендикулярах
  • Площади, объёмы и расстояния в стереометрии
Открыть теорию по математике →
Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом
  • Использовать свойство по рисунку без доказательства
  • Перепутать пространственный и линейный угол
  • Не проверить, что построенная точка принадлежит нужному ребру или плоскости
Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом
  1. 1Для пункта а) приведено полное геометрическое обоснование?
  2. 2Все вспомогательные точки и плоскости определены однозначно?
  3. 3Ответ пункта б) следует из записанных формул без необоснованных переходов?
Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №15
Все задания линии №15 →
Тела и поверхности вращенияВ цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований…FIPI ID C84642Тела и поверхности вращенияВ цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований…FIPI ID 416B0FТела и поверхности вращенияВ цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований…FIPI ID 13D60BТела и поверхности вращенияВ цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований…FIPI ID D7147AТела и поверхности вращенияВ цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований…FIPI ID E8FAA5Тела и поверхности вращенияВ цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований…FIPI ID 77C190
Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ
Все задания линии №15Перейти к списку и выбрать следующую задачуБанк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭКонструктор вариантаСобрать тренировочный вариантПробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена