В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ через ребро $AB$ провели плоскость $\alpha$, образующую сечение $ABMN,$ где точки $M$ и $N$ $-$ точки пересечения плоскости $\alpha$ с боковыми рёбрами $SC$ и $SD$ соответственно. Известно, что $AB=BM=AN=5MN.$ а) Докажите, что точки $M$ и $N$ делят рёбра $SC$ и $SD$ в отношении $1:4,$ считая от вершины $S.$ б) Найдите косинус угла между плоскостью основания $ABCD$ и плоскостью $\alpha .$

а) Рассмотрим три попарно пересекающиеся плоскости: Прямые и — их линии пересечения. Тогда эти прямые либо пересекаются в одной точке, либо попарно параллельны. Так как то имеем:

Рассмотрим треугольники и Их угол общий, а углы и равны как соответственные углы при и секущей Значит, треугольники и подобны по двум углам. Запишем для них отношение подобия:

Отсюда следует, что

б) Пусть

Пусть — точка пересечения диагоналей и Так как пирамида правильная, то — высота этой пирамиды.

В плоскости проведем Тогда — проекция точки на плоскость

В плоскости проведем Тогда — проекция точки на плоскость

Значит, четырехугольник — проекция сечения на плоскость

Если — угол между плоскостями и то

Так как то – трапеция. Так как то трапеция равнобедренная.

Проведём высоты и трапеции Так как они перпендикулярны основаниям и то – прямоугольник. Его противоположные стороны равны:

Так как как высоты трапеции, то прямоугольные треугольники и равны по катету и гипотенузе. Значит, равны и их вторые катеты:

Пусть По теореме Пифагора для треугольника имеем:

Значит, площадь сечения равна

Так как то

По теореме о пропорциональных отрезках для угла имеем:

По теореме о пропорциональных отрезках для угла имеем:

Пусть Тогда

Диагонали и четырехугольника взаимно перпендикулярны, следовательно, его площадь равна

Но по свойству квадрата

Отсюда площадь проекции сечения равна

Тогда искомый косинус равен