В правильной треугольной призме $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ все рёбра равны 4. Точка $K$$-$ середина ребра $A_1{B}_1.$ а) Докажите, что сечение призмы плоскостью $AKC$является равнобедренной трапецией. б) Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $AKC.$

а) Обозначим плоскость за Построим сечение правильной треугольной призмы плоскостью Так как точки и лежат в одной грани, то можем их соединить. Аналогично для точек и Так как верхняя и нижняя грани лежат в параллельных плоскостях, то плоскость пересекает верхнюю грань по прямой, параллельной прямой Пусть плоскость пересекает ребро в точке тогда При этом так как то и по теореме Фалеса точка — середина ребра Получили, что сечением призмы плоскостью является четырехугольник

Так как призма правильная, то — равносторонний треугольник, следовательно

По теореме Пифагора в прямоугольном

По теореме Пифагора в прямоугольном

А так как и то получаем, что

Более того, является средней линией а значит, то есть и не является параллелограммом.

Тогда четырехугольник является равнобедренной трапецией.

б) Продлим отрезки и за точки и соответственно до пересечения с продолжением ребра По теореме о трех попарно пересекающихся плоскостях они пересекутся в одной точке. Обозначим её за

В опустим высоту Тогда Более того, так как то Следовательно,

В опустим высоту Получаем, что и а значит,

Найдем длину

Заметим, что так как Тогда

Следовательно,

Так как – высота правильного треугольника со стороной 4, то

По теореме Пифагора для

Можем найти как высоту в прямоугольном треугольнике: