Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
Задание 8 из 66Тела и поверхности вращения
Линия №15

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки , и , а на окружности другого основания точка , причём образующая цилиндра, а диаметр основания. Известно, что , , . а) Докажите, что угол между прямыми и равен . б) Найдите расстояние от точки до прямой .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: C84642

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Задание ФИПИ C84642 по стереометрии. В решении необходимо обосновать пункт а), а затем выполнить вычисления пункта б) с использованием пространственных свойств фигуры.

Ключевая идея: Построить сечение или вспомогательные перпендикуляры, обосновать пространственные отношения и свести вычисление к планиметрии, координатам либо объёмам..
Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ
Пример решения №1

Решение

а) Так как ACAC - диаметр, тогда ∠ABC=90∘\angle ABC = 90^\circ как вписанный угол, опирающийся на диаметр. Значит, △ABC\triangle ABC - прямоугольный и ∠ACB=∠CAB=45∘⇒△ABC\angle ACB = \angle CAB = 45^\circ \Rightarrow \triangle ABC - равнобедренный, AB=BC=23AB= BC = 2\sqrt{3}. Проведём AD∥BCAD \parallel BC, точка DD - точка пересечения с нижним основанием.
Схема к решению стереометрической задачи
Тогда ∠(AC1;BC)=∠(AC1;AD)=∠C1AD\angle(AC_1; BC) = \angle (AC_1; AD) = \angle C_1AD. ABCDABCD - квадрат, поэтому AD=BC=23.AD =BC = 2\sqrt{3}. Так как CC1CC_1 - Образующая, то CC1⊥CDCC_1 \perp CD, следовательно, △CC1D\triangle CC_1D - прямоугольный. По теореме Пифагора: C1D=CD2+CC12=(23)2+(26)2=12+24=6C_1D = \sqrt{CD^2+CC_1^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+(2\sqrt{6})^2} = \sqrt{12+24}=6 Так как CDCD - проекция C1DC_1D на плоскость основания цилиндра и CD⊥ADCD \perp AD, то C1D⊥ADC_1D \perp AD по теореме о трёх перпендикулярах. В △AC1D\triangle AC_1D: tg⁡∠C1AD=C1DAD=623=3⇒∠C1AD=60∘.\tg \angle C_1AD = \frac{C_1D}{AD} = \frac{6}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3} \Rightarrow \angle C_1AD = 60^\circ. Что и требовалось доказать. б) BCBC - проекция C1BC_1B на плоскость основания цилиндра, AB⊥BC⇒C1B⊥ABAB \perp BC \Rightarrow C_1B \perp AB по теореме о трёх перпендикулярах. Следовательно, ρ(B;AC1)=BH\rho(B; AC_1)=BH - высота в прямоугольном треугольнике ABC1ABC_1. По теореме в △BCC1\triangle BCC_1:
Схема к решению стереометрической задачи
BC1=BC2+CC12=(23)2+(26)2=12+24=6.BC_1 = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{6})^2} = \sqrt{12+24} = 6. По теореме в △ABC1\triangle ABC_1: AC1=AB2+BC12=(23)2+62=12+36=43.AC_1 = \sqrt{AB^2 + BC_1^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 6^2} = \sqrt{12+36} = 4\sqrt{3}. Значит, BH=AB⋅BC1AC1=23⋅643=3.BH = \frac{AB \cdot BC_1}{AC_1}=\frac{2\sqrt{3}\cdot 6}{4\sqrt{3}} = 3. Ответ: б) 33.
Ответ: б) 33
Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач
  • Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
  • Сечения, подобие и теорема о трёх перпендикулярах
  • Площади, объёмы и расстояния в стереометрии
Открыть теорию по математике →
Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом
  • Использовать свойство по рисунку без доказательства
  • Перепутать пространственный и линейный угол
  • Не проверить, что построенная точка принадлежит нужному ребру или плоскости
Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом
  1. 1
    Для пункта а) приведено полное геометрическое обоснование?
  2. 2
    Все вспомогательные точки и плоскости определены однозначно?
  3. 3
    Ответ пункта б) следует из записанных формул без необоснованных переходов?
Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №15
Все задания линии №15 →
Тела и поверхности вращенияРазличные точки A, B C с вершиной S AB 60°. а) Докажите, что cos∠ASC+cos∠BSC=1,5. б) Найдите…FIPI ID 6B5C41Тела и поверхности вращенияВ цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований…FIPI ID 416B0FТела и поверхности вращенияВ цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований…FIPI ID 13D60BТела и поверхности вращенияВ цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований…FIPI ID D7147AТела и поверхности вращенияВ цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований…FIPI ID E8FAA5Тела и поверхности вращенияВ цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований…FIPI ID 77C190
Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ
Все задания линии №15Перейти к списку и выбрать следующую задачуБанк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭКонструктор вариантаСобрать тренировочный вариантПробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена