В кубе $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ точки $M$ и $N$ $-$ середины рёбер $AB$ и $AD$ соответственно. а) Докажите, что прямые $B_{1}N$ и $CM$ перпендикулярны. б) Плоскость $\alpha$ проходит через точки $N$ и $B_1$ параллельно прямой $CM.$ Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $\alpha ,$ если $B_{1}N=6.$

а) Пусть отрезки и пересекаются в точке Все рёбра куба равны, следовательно,

Тогда прямоугольные треугольники и равны по двум катетам, значит,

Отрезок – проекция отрезка на плоскость Следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах прямые и перпендикулярны.

б) Пусть плоскость пересекает ребро в точке Прямые и лежащие в плоскости параллельны, поскольку прямая лежит в плоскости параллельной прямой

Углы и равны как соответственные углы при и секущей Углы и равны как накрест лежащие при и секущей Получаем:

Рассмотрим треугольники и Их углы и прямые, а острые углы и равны. Значит, треугольники и подобны по двум углам. Из отношения подобия получаем:

Выразим и подставим известные значения:

Заметим, что поскольку прямая перпендикулярна прямой параллельной прямой Пусть ребро куба равно

По теореме Пифагора для треугольника имеем:

По теореме Пифагора для треугольника имеем:

Так как то

Тогда

По теореме Пифагора для треугольника имеем:

Рассмотрим пирамиду

Примем за основание грань Так как то — высота пирамиды проведённая к основанию Тогда объём пирамиды равен:

Примем теперь за основание грань Пусть — расстояние от точки до плоскости то есть высота пирамиды, опущенная на основание Тогда тот же объём выражается как

Приравнивая, получаем откуда