Задание 45 из 66Тела и поверхности вращения

Линия №15 · Повышенный уровень

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ , $B$ и $C$ , а на окружности другого основания $-$ точка $C_{1}$ , причём $C C_{1}$ $-$ образующая цилиндра, а $A C$ $-$ диаметр основания. Известно, что $∠ A CB = 3 0^{\circ}$ , $A B = 1$ , $C C_{1} = 22$ . а) Докажите, что угол между прямыми $A C_{1}$ и $BC$ равен $6 0^{\circ}$ . б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: E8FAA5

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Задание ФИПИ E8FAA5 по стереометрии. В решении необходимо обосновать пункт а), а затем выполнить вычисления пункта б) с использованием пространственных свойств фигуры.

Ключевая идея: Построить сечение или вспомогательные перпендикуляры, обосновать пространственные отношения и свести вычисление к планиметрии, координатам либо объёмам..

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Пример решения №1

Решение

а) Так как

AC

- диаметр, тогда

\angle ABC = 90^\circ

как вписанный угол, опирающийся на диаметр. Значит,

\triangle ABC

- прямоугольный и

\angle ACB = 30^\circ \Rightarrow AC = 2AB =2

как катет лежащий напротив угла

30^\circ

, тогда

BC = AB\ctg 30^\circ = \sqrt{3}

. Проведём

AD \parallel BC

, точка

D

- точка пересечения с нижним основанием.

Схема к решению стереометрической задачи

Тогда

\angle(AC_1; BC) = \angle (AC_1; AD) = \angle C_1AD

ABCD

- прямоугольник, поэтому

AD =BC = \sqrt{3}.

Так как

CC_1

- Образующая, то

CC_1 \perp CD

, следовательно,

\triangle CC_1D

- прямоугольный. По теореме Пифагора:

C_1D = \sqrt{CD^2+CC_1^2}=\sqrt{1^2+(2\sqrt{2})^2} = 3

Так как

CD

- проекция

C_1D

на плоскость основания цилиндра и

CD \perp AD

, то

C_1D \perp AD

по теореме о трёх перпендикулярах. В

\triangle AC_1D

\tg \angle C_1AD = \frac{C_1D}{AD} = \frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3} \Rightarrow \angle C_1AD = 60^\circ.

Что и требовалось доказать. б)

S_{\text{б. пов.}} = 2\pi rh = \pi dh = AC \cdot \pi \cdot CC_1 = 2\pi \cdot 2\sqrt{2}=4\sqrt{2}\pi

Ответ: б)

4\sqrt{2}\pi

Ответ: б)

4\sqrt{2}\pi

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
Сечения, подобие и теорема о трёх перпендикулярах
Площади, объёмы и расстояния в стереометрии

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Использовать свойство по рисунку без доказательства
Перепутать пространственный и линейный угол
Не проверить, что построенная точка принадлежит нужному ребру или плоскости

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для пункта а) приведено полное геометрическое обоснование?
2Все вспомогательные точки и плоскости определены однозначно?
3Ответ пункта б) следует из записанных формул без необоснованных переходов?

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №15

Все задания линии №15 →

Тела и поверхности вращенияВ цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований…FIPI ID C84642 Тела и поверхности вращенияРазличные точки A, B C с вершиной S AB 60°. а) Докажите, что cos∠ASC+cos∠BSC=1,5. б) Найдите…FIPI ID 6B5C41 Тела и поверхности вращенияВ цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований…FIPI ID 416B0F Тела и поверхности вращенияВ цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований…FIPI ID 13D60B Тела и поверхности вращенияВ цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований…FIPI ID D7147A Тела и поверхности вращенияВ цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований…FIPI ID 77C190

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №15Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена