В основании прямой призмы $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB.$ Точка $P$ делит ребро $AB$ в отношении $AP:PB=1:3,$ а точка $Q$ $-$ середина ребра $A_1{C}_1.$ Через середину $M$ ребра $BC$ провели плоскость $\alpha ,$ перпендикулярную отрезку $PQ.$ а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $AC$ пополам. б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит ребро $A_1{C}_1,$ считая от точки $A_1,$ если известно, что $AB=A{A}_1,$ $AB:BC=2:5.$

а) Проведем и , где — проекция на плоскость нижнего основания. Тогда — середина и — средняя линия Пусть Тогда Также проведем высоту в нижнем основании призмы. Так как — равнобедренный, то высота является и медианой, следовательно, но так как то то есь — середина

Заметим, что

Тогда по обратной теореме Фалеса получаем, что

Образующая перпендикулярна основанию значит, — проекция на плоскость Так как то по теореме о трёх перпендикулярах

Т.к. — средняя линия то а поскольку то а значит плоскость содержит прямую откуда немедленно получаем, что А так как мы знаем, что — середина то уверждение пункта (а) доказано.

б) Опустим из точки перпендикуляр на отрезок Таким образом, мы получаем, что наша плоскость образуется двумя прямыми: Для того, чтобы найти, в каком отношении разобъет отрезок необходимо выяснить как пересекает грань

Для этого отметим точку — проеция точки на верхнее основание, и найдем точку пересечения c прямой обозначим её Так как и то

Тогда по теореме Пифагора для

Тогда, чтобы достроить сечение, проведём через точку прямую, параллельную Пусть она пересекает в точке

По ранее полученному

Выполним выносной чертеж прямоугольника

Пусть тогда для и секущей

Из суммы углов и имеем:

Таким образом, по двум углам. Запишем для них отношение подобия:

Заметим, что так как Запишем для них отношение подобия:

Тогда, имеем:

Тогда

Значит разбивается плоскостью в отношении