Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
↪ВойтиЧерез VK ID
Меню
Задание 46 из 66Многогранники и сечения
Линия №15 · Повышенный уровень

В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с основанием Точка делит ребро в отношении а точка середина ребра Через середину ребра провели плоскость перпендикулярную отрезку а) Докажите, что плоскость параллельна ребру б) Найдите отношение, в котором плоскость делит отрезок считая от точки если известно, что

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 82F7A1

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Задание ФИПИ 82F7A1 по стереометрии. В решении необходимо обосновать пункт а), а затем выполнить вычисления пункта б) с использованием пространственных свойств фигуры.

Ключевая идея: Построить сечение или вспомогательные перпендикуляры, обосновать пространственные отношения и свести вычисление к планиметрии, координатам либо объёмам..
Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ
Пример решения №1

Решение

а) Пусть AP=xAP = x, тогда PB=3xPB = 3x. Проведём CH⊥ABCH \perp AB, тогда в △ABC\triangle ABC(правильный) CHCH - медиана, следовательно, AH=HB=2xAH = HB =2x. Пусть NN — проекция QQ на плоскость нижнего основания, QN=AA1QN = AA_1, QN⊥ACQN \perp AC, NN — середина ACAC.
Схема к решению стереометрической задачи
Так как AH=2xAH =2x, а AP=xAP = x, то PH=xPH =x. Следовательно, по обратной обобщенной теореме Фалеса NP∥CHNP \parallel CH, тогда NP⊥ABNP \perp AB. Так как NN и MM — середины ACAC и BCBC соответственно, то MNMN — средняя линия △ABC\triangle ABC, MN∥ABMN \parallel AB. В △NQP\triangle NQP: NPNP — проекция QPQP на ABCABC, следовательно, QP⊥ABQP \perp AB (по теореме о трёх перпендикулярах) ⇒MN⊥QP\Rightarrow MN \perp QP. Так как M∈α,α⊥PQM \in \alpha, \alpha \perp PQ и MN⊥PQ⇒MNMN \perp PQ \Rightarrow MN лежит в плоскости α\alpha, но MN∥ABMN \parallel AB, то α∥AB\alpha \parallel AB. Что и требовалось доказать. б) Проведём NF⊥PQNF \perp PQ, так как α⊥PQ\alpha \perp PQ. Так как AB=AA1=4xAB = AA_1=4x и AB:BC=2:5AB : BC = 2 : 5, то BC=AC=10xBC = AC = 10x, а CM=MB=CN=AN=5xCM = MB = CN = AN = 5x.
Схема к решению стереометрической задачи
В △ANP\triangle ANP по теореме Пифагора: NP=AN2−AP2=25x2−x2=26x.NP = \sqrt{AN^2-AP^2}=\sqrt{25x^2-x^2}=2\sqrt{6}x. Значит, по свойству высоты в прямоугольном треугольнике PQNPQN: PFFQ=NP2QN2=24x216x2=32.\frac{PF}{FQ}=\frac{NP^2}{QN^2}=\frac{24x^2}{16x^2}=\frac{3}{2}. Ответ: б) 3:23 : 2.
Ответ: б) 3:23 : 2.
Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач
  • Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
  • Сечения, подобие и теорема о трёх перпендикулярах
  • Площади, объёмы и расстояния в стереометрии
Открыть теорию по математике →
Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом
  • Использовать свойство по рисунку без доказательства
  • Перепутать пространственный и линейный угол
  • Не проверить, что построенная точка принадлежит нужному ребру или плоскости
Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом
  1. 1Для пункта а) приведено полное геометрическое обоснование?
  2. 2Все вспомогательные точки и плоскости определены однозначно?
  3. 3Ответ пункта б) следует из записанных формул без необоснованных переходов?
Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №15
Все задания линии №15 →
Многогранники и сеченияВ основании правильной треугольной пирамиды ABCD ABC со стороной, равной 6. Боковое ребро…FIPI ID 30ED04Многогранники и сеченияВ основании правильной треугольной пирамиды ABCD ABC со стороной, равной 5. Боковое ребро…FIPI ID 149319Многогранники и сеченияВ основании прямой треугольной призмы ABCA_(1)B_(1)C_(1) AB=BC ABC K — A_(1)B_(1) M AC…FIPI ID F7B7A1Многогранники и сеченияНа ребре AA_(1) ABCDA_(1)B_(1)C_(1)D_(1) E так, что A_(1)E:EA=1:2 BB_(1) — F B_(1)F:FB=1:5 Т…FIPI ID E95564Многогранники и сеченияВ основании пирамиды SABCD ABCD AB=5 BD=9 На диагонали BD ABCD E AS — F SF=BE=4 а) Докажите…FIPI ID EA6B32Многогранники и сеченияВ правильной четырёхугольной пирамиде [ИЗОБРАЖЕНИЕ 1] сторона основания [ИЗОБРАЖЕНИЕ 2]…FIPI ID 03B44B
Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ
Все задания линии №15Перейти к списку и выбрать следующую задачуБанк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭКонструктор вариантаСобрать тренировочный вариантПробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена