Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
↪ВойтиЧерез VK ID
Меню
Задание 54 из 66Многогранники и сечения
Линия №15 · Повышенный уровень

На рёбрах и треугольной пирамиды отмечены точки и соответственно, причём . Точки и середины рёбер и соответственно. а) Докажите, что точки , , и лежат в одной плоскости. б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость разбивает пирамиду.

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 1F7CE6

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Задание ФИПИ 1F7CE6 по стереометрии. В решении необходимо обосновать пункт а), а затем выполнить вычисления пункта б) с использованием пространственных свойств фигуры.

Ключевая идея: Построить сечение или вспомогательные перпендикуляры, обосновать пространственные отношения и свести вычисление к планиметрии, координатам либо объёмам..
Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ
Пример решения №1

Решение

a) Треугольник ABC подобен треугольнику MBN по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. В подобных треугольниках соответственные углы равны, поэтому ∠BAC = ∠BMN, то есть AC ∥MN. Отрезок PQ является средней линией треугольника ADC, значит, PQ ∥AC. Тогда MN ∥PQ, следовательно, точки P, Q, M и N лежат в одной плоскости.

PIC

б) Пусть объём ABCD равен V. Пятигранник AP MNQC состоит из четырёхугольной пирамиды PACNM с основанием ACNM и треугольной пирамиды PQCN с основанием QCN. Выразим их объемы через V.

Расстояние от P до (BCD ) вдвое меньше расстояния от A до (BCD ), а площади треугольников QCN и BCD относятся как 1 к 6, так как

S 1⋅CQ ⋅CN ⋅sin ∠QCN SQCN-= -21----------------- = BCD 2 ⋅CD ⋅CB ⋅sin ∠DCB = CQ- ⋅ CN-= 1 ⋅ 1 = 1. CD CB 2 3 6

Объем пирамиды PQCN равен:

1 1 V VPQCN = 2 ⋅6 ⋅V = 12.

Также

1 SMBN- = 21⋅BM-⋅BN--⋅sin∠MBN-- = SABC 2 ⋅BA ⋅BC ⋅sin∠ABC BM BN ( 2)2 4 = -BA-⋅-BC-= 3 = 9.

Из этого получаем:

SACNM-= 1 − 4= 5. SABC 9 9

Расстояние от точки P до (ABC ) вдвое меньше расстояния от D до (ABC ), поэтому

1 5 5V- VPACNM = 2 ⋅9 ⋅V = 18 V 5V 3V + 10V 13V VAPMNQC = 12 + 18-=---36--- = 36-- V 13 VABPMMNNDQPCQ--= 23
Ответ:

б) 13 :23

Пример решения №2

Решение

а) PQPQ - средняя линия △ADC\triangle ADC, значит PQ∥ACPQ \parallel AC. По условию BMBA=BNBC=23\frac{BM}{BA}=\frac{BN}{BC} = \frac{2}{3}, тогда по обратной теореме о пропорциональных отрезках MN∣∣ACMN || AC. В итоге получаем, что MN∥PQMN \parallel PQ, поэтому точки PP, QQ, MM и NN лежат в одной плоскости.
Схема к решению стереометрической задачи
б) Заметим, что многогранник APMMQCAPMMQC состоит из четырёхугольной пирамиды PAMNCPAMNC и треугольной пирамиды PQNCPQNC. Из подобия треугольников ABCABC и BMNBMN: SBMNSABC=(BMBA)2=(23)2=49⇒SAMNCSABC=59\frac{S_{BMN}}{S_{ABC}} = \left( \frac{BM}{BA} \right)^2 = \left( \frac{2}{3} \right)^2= \frac{4}{9} \Rightarrow \frac{S_{AMNC}}{S_{ABC}} = \frac{5}{9} Также расстояние от точки PP до основания ABCABC вдвое меньше, чем из AA. Обозначим эти расстояние как PP1PP_1 и DD1DD_1. Тогда VPAMNCVDABC=13⋅PP1⋅SAMNC13⋅DD1⋅SABC=12⋅59=518⇒VPAMNC=518VABCD\frac{V_{PAMNC}}{V_{DABC}}=\frac{ \frac{1}{3} \cdot PP_1 \cdot S_{AMNC} }{ \frac{1}{3} \cdot DD_1 \cdot S_{ABC} } = \frac{1}{2}\cdot \frac{5}{9}=\frac{5}{18} \Rightarrow V_{PAMNC} = \frac{5}{18}V_{ABCD} Аналогично расстояние от точки PP до основания DBCDBC вдвое меньше, чем из AA. Обозначим эти расстояние как PH1PH_1 и AHAH. По теореме об отношении площадей с общим углом: SCQNSCBD=CQ⋅CNCD⋅CB=1⋅12⋅3=16\frac{S_{CQN}}{S_{CBD}} = \frac{CQ \cdot CN}{CD\cdot CB}= \frac{1\cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6} Тогда VPQCNVABCD=13⋅PH1⋅SQCN13⋅AH⋅SDBC=12⋅16=112⇒VPQCN=112VABCD.\frac{V_{PQCN}}{V_{ABCD}}=\frac{ \frac{1}{3} \cdot PH_1 \cdot S_{QCN} }{ \frac{1}{3} \cdot AH \cdot S_{DBC} } = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{12} \Rightarrow V_{PQCN} = \frac{1}{12}V_{ABCD}. В итоге VAPMNQC=VPAMNC+VPQNC=518VABCD+112VABCD=1336VABCDV_{APMNQC} = V_{PAMNC} + V_{PQNC} = \frac{5}{18}V_{ABCD} + \frac{1}{12}V_{ABCD} = \frac{13}{36}V_{ABCD} Следовательно VDPQMNB=VABCD−1336VABCD=2336VABCDV_{DPQMNB} = V_{ABCD} - \frac{13}{36}V_{ABCD}= \frac{23}{36}V_{ABCD} Таким образом VAPMNQCVDPQMNB=1323\frac{ V_{APMNQC} }{ V_{DPQMNB} } = \frac{13}{23}
Схема к решению стереометрической задачи
Ответы: б) 13:2313:23
Ответ: б) 13:2313:23
Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач
  • Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
  • Сечения, подобие и теорема о трёх перпендикулярах
  • Площади, объёмы и расстояния в стереометрии
Открыть теорию по математике →
Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом
  • Использовать свойство по рисунку без доказательства
  • Перепутать пространственный и линейный угол
  • Не проверить, что построенная точка принадлежит нужному ребру или плоскости
Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом
  1. 1Для пункта а) приведено полное геометрическое обоснование?
  2. 2Все вспомогательные точки и плоскости определены однозначно?
  3. 3Ответ пункта б) следует из записанных формул без необоснованных переходов?
Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №15
Все задания линии №15 →
Многогранники и сеченияВ основании правильной треугольной пирамиды ABCD ABC со стороной, равной 6. Боковое ребро…FIPI ID 30ED04Многогранники и сеченияВ основании правильной треугольной пирамиды ABCD ABC со стороной, равной 5. Боковое ребро…FIPI ID 149319Многогранники и сеченияВ основании прямой треугольной призмы ABCA_(1)B_(1)C_(1) AB=BC ABC K — A_(1)B_(1) M AC…FIPI ID F7B7A1Многогранники и сеченияНа ребре AA_(1) ABCDA_(1)B_(1)C_(1)D_(1) E так, что A_(1)E:EA=1:2 BB_(1) — F B_(1)F:FB=1:5 Т…FIPI ID E95564Многогранники и сеченияВ основании пирамиды SABCD ABCD AB=5 BD=9 На диагонали BD ABCD E AS — F SF=BE=4 а) Докажите…FIPI ID EA6B32Многогранники и сеченияВ правильной четырёхугольной пирамиде [ИЗОБРАЖЕНИЕ 1] сторона основания [ИЗОБРАЖЕНИЕ 2]…FIPI ID 03B44B
Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ
Все задания линии №15Перейти к списку и выбрать следующую задачуБанк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭКонструктор вариантаСобрать тренировочный вариантПробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена