В основании прямой призмы $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ лежит равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=3$ и $BC=2.$ Точка $M$ делит ребро $A_1{D}_1$ в отношении $A_{1}M:M{D}_1=1:2,$ а точка $K$ $-$ середина ребра $D{D}_1.$ а) Докажите, что плоскость $MKC$ параллельна прямой $BD.$ б) Найдите тангенс угла между плоскостью $MKC$ и плоскостью основания призмы, если $\angle MKC=90^{\circ },$ $\angle ADC=60^{\circ }.$

а) Так как и то грани и параллельны. Следовательно, плоскость пересечет их по параллельным прямым. Значит, плоскость пересечет грань по прямой где — точка на ребре Продлим до пересечения с прямой в точке Тогда точка являющаяся точкой пересечения и является одной из вершин сечения призмы плоскостью Следовательно, — сечение призмы плоскостью

Так как то достаточно доказать, что

Из условия следует, что Пусть также Углы и равны как углы между попарно параллельными прямыми. Следовательно, по катету и острому углу равны и так как Следовательно, Значит, — середина ребра

Рассмотрим треугольники и Их углы и прямые, углы и равны как вертикальные. Тогда треугольники и подобны по двум углам. Из отношения подобия получаем:

Рассмотрим треугольники и Их углы и прямые, углы и равны как вертикальные. Тогда треугольники и подобны по двум углам. Из отношения подобия получаем:

Значит, можно обозначить

По обратной теореме о пропорциональных отрезках, так как то Следовательно, откуда Что и требовалось доказать.

б) Так как и то — параллелограмм. Следовательно, Следовательно, — равнобедренный с углом значит, он равносторонний и Следовательно,

По теореме Пифагора для треугольника имеем:

Из равенстав треугольников и следует, что Так как и то — прямоугольник, следовательно, и прямоугольный с Также

По теореме Пифагора для треугольника имеем:

Проведем Так как а то – прямоугольник. Его противоположные стороны равны:

Кроме того, имеем:

Tреугольник прямоугольный и по теореме Пифагора имеем:

Тогда по теореме Пифагора для получаем

Так как — линия пересечения плоскостей и то проведем Тогда по теореме о трех перпендикулярах Следовательно, — угол между и Его тангенс равен Следовательно, нужно найти

По доказанному в пункте а) Так как равносторонний и то следовательно, лежит на продолжении отрезка за точку

Рассмотрим По теореме косинусов

Тогда по теореме синусов из этого же треугольника

Из прямоугольного имеем

Тогда