Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
Задание 2 из 66Многогранники и сечения
Линия №15

В основании правильной треугольной пирамиды лежит треугольник  со стороной, равной 5. Боковое ребро пирамиды равно 9. На ребре AD отмечена точка так, что . Через точку Т  параллельно прямым  и проведена плоскость. а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником. б) Найдите площадь сечения.

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 149319

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Задание ФИПИ 149319 по стереометрии. В решении необходимо обосновать пункт а), а затем выполнить вычисления пункта б) с использованием пространственных свойств фигуры.

Ключевая идея: Построить сечение или вспомогательные перпендикуляры, обосновать пространственные отношения и свести вычисление к планиметрии, координатам либо объёмам..
Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ
Пример решения №1

Решение

а) Так как искомое сечение параллельно прямым ACAC и BDBD, то оно будет пересекать плоскости, в которых лежат прямые ACAC и BDBD, по прямым, соответственно параллельным этим двум. Отсюда вытекает построение сечения. 1) Проведём через точку TT (грань ACDACD) прямую, параллельную ACAC; она пересекает ребро CDCD в точке LL. 2) Проведём через точку TT (грань ABDABD) прямую, параллельную BDBD; она пересекает ребро ABAB в точке KK. 3) Проведём через точку KK (грань ABCABC) прямую, параллельную ACAC, она пересекает ребро BCBC в точке FF. Получаем, что четырёхугольник TKFLTKFL — искомое сечение.
Схема к решению стереометрической задачи
4) Из построения ясно, что TL∥AC∥KFTL \parallel AC \parallel KF и TK∥BDTK \parallel BD. Имеем: BD∥(TKL)BD\parallel (TKL), BD⊂(BCD)BD \subset (BCD), (TKL)∩(BCD)=LF(TKL)\cap(BCD)=LF, значит, LF∥BDLF \parallel BD по свойству параллельных прямой и плоскости, следовательно, LF∥TKLF \parallel TK и TKFLTKFL — параллелограмм. 5) Проведём высоты DHDH и BHBH в равнобедренных треугольниках ADCADC и ABCABC соответственно. Отрезки DHDH и BHBH также будут и медианами, поэтому HH — середина стороны ACAC основания. 6) Тогда AC⊥DHAC \perp DH и AC⊥BHAC \perp BH, откуда получаем, что AC⊥(BDH)AC \perp (BDH). 7) Так как AC∥KFAC \parallel KF, то KF⊥(BDH)KF \perp (BDH), следовательно, KFKF будет перпендикулярна любой прямой плоскости BDHBDH, в том числе, прямой BDBD. 8) Выше получили, что KF⊥BDKF \perp BD, а BD∥TKBD \parallel TK, тогда KF⊥TKKF \perp TK и TKFLTKFL — прямоугольник, ч.т.д. б)
Схема к решению стереометрической задачи
1) ∠A\angle A — общий угол для △ATK\triangle ATK и △ADB\triangle ADB, а ∠ATK=∠ADB\angle ATK=\angle ADB как соответственные при TK∥BDTK\parallel BD и секущей ADAD, следовательно, △ATK∼△ADB\triangle ATK \sim \triangle ADB. 2) Тогда TKBD=AKAB=ATAD=13 ⇒ TK=13BD=13⋅9=3\dfrac{TK}{BD}=\dfrac{AK}{AB}=\dfrac{AT}{AD}=\dfrac{1}{3}\ \Rightarrow \ TK=\dfrac{1}{3}BD=\dfrac{1}{3}\cdot 9=3, а AK=13ABAK=\dfrac{1}{3}AB. Значит, BK=AB−AK=23AB.BK=AB-AK=\dfrac{2}{3}AB. 3) ∠B\angle B — общий угол для △BKF\triangle BKF и △BAC\triangle BAC, а ∠BKF=∠BAC\angle BKF=\angle BAC как соответственные при KF∥ACKF\parallel AC и секущей ABAB, следовательно, △BKF∼△BAC\triangle BKF \sim \triangle BAC. 4) Из подобия получаем, что KFAC=KBAB=23⇒ KF=23AC=23⋅5=103.\dfrac{KF}{AC}=\dfrac{KB}{AB}=\dfrac{2}{3} \Rightarrow \ KF=\dfrac{2}{3}AC=\dfrac{2}{3}\cdot 5=\dfrac{10}{3}. 5) Тогда STKFL=TK⋅KF=3⋅103=10S_{TKFL}=TK\cdot KF=3\cdot\dfrac{10}{3}=10. Ответ: б) 1010
Ответ: б) 1010
Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач
  • Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
  • Сечения, подобие и теорема о трёх перпендикулярах
  • Площади, объёмы и расстояния в стереометрии
Открыть теорию по математике →
Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом
  • Использовать свойство по рисунку без доказательства
  • Перепутать пространственный и линейный угол
  • Не проверить, что построенная точка принадлежит нужному ребру или плоскости
Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом
  1. 1
    Для пункта а) приведено полное геометрическое обоснование?
  2. 2
    Все вспомогательные точки и плоскости определены однозначно?
  3. 3
    Ответ пункта б) следует из записанных формул без необоснованных переходов?
Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №15
Все задания линии №15 →
Многогранники и сеченияВ основании правильной треугольной пирамиды ABCD ABC со стороной, равной 6. Боковое ребро…FIPI ID 30ED04Многогранники и сеченияВ основании прямой треугольной призмы ABCA_(1)B_(1)C_(1) AB=BC ABC K — A_(1)B_(1) M AC…FIPI ID F7B7A1Многогранники и сеченияНа ребре AA_(1) ABCDA_(1)B_(1)C_(1)D_(1) E так, что A_(1)E:EA=1:2 BB_(1) — F B_(1)F:FB=1:5 Т…FIPI ID E95564Многогранники и сеченияВ основании пирамиды SABCD ABCD AB=5 BD=9 На диагонали BD ABCD E AS — F SF=BE=4 а) Докажите…FIPI ID EA6B32Многогранники и сеченияВ правильной четырёхугольной пирамиде [ИЗОБРАЖЕНИЕ 1] сторона основания [ИЗОБРАЖЕНИЕ 2]…FIPI ID 03B44BМногогранники и сеченияВ правильной четырёхугольной пирамиде SABCD ABCD O — M — SC, K BC BK:KC=3:1, AB=2…FIPI ID 04294C
Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ
Все задания линии №15Перейти к списку и выбрать следующую задачуБанк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭКонструктор вариантаСобрать тренировочный вариантПробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена