Задание 66 из 66Многогранники и сечения

Линия №15

В правильной четырёхугольной пирамиде $S A BC D$ точки $M$ и $K$ $-$ середины рёбер $A B$ и $S D$ соответственно. а) Докажите, что прямая $M K$ параллельна плоскости $SBC .$ б) Найдите высоту пирамиды, если $A B = 24,$ а угол между прямой $M K$ и плоскостью основания пирамиды равен $3 0^{\circ} .$

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 325286

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Задание ФИПИ 325286 по стереометрии. В решении необходимо обосновать пункт а), а затем выполнить вычисления пункта б) с использованием пространственных свойств фигуры.

Ключевая идея: Построить сечение или вспомогательные перпендикуляры, обосновать пространственные отношения и свести вычисление к планиметрии, координатам либо объёмам..

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Пример решения №1

Решение

а) Пусть

BQ

— медиана

\triangle SBC

. Тогда

KQ

— средняя линия

\triangle SDC

, значит,

KQ = \dfrac{1}{2}DC

KQ \parallel DC

. Так как

MB = \dfrac{1}{2}AB

MB \parallel KQ

MB = KQ

, то

KQBM

— параллелограмм. Таким образом,

KM \parallel BQ

, а так как

BQ

лежит в плоскости

(CBS)

, то

KM \parallel (CBS)

, ч.т.д.

Схема к решению стереометрической задачи

б) Пусть

KK' \perp (ABC)

KK' \parallel SO

K' \in BD

, тогда

K'M

— проекция прямой

KM

на

(ABC)

. Значит,

\angle(KM; (ABC)) = \angle KMK'

. Пусть

AC \cap BD = O

. Так как

K

— середина

SD

KK' \parallel SO

, то

KK'

— средняя линия

\triangle OSD

, тогда

KK' = \dfrac{1}{2}SO

K'

— середина

DO

BD = 24\sqrt{2}

как диагональ квадрата

ABCD

, тогда

BK' = \dfrac{3}{4}BD = 18\sqrt{2}

. Для

\triangle MBK'

по теореме косинусов:

MK'^2 = BK'^2 + MB^2 - 2 \cdot BK' \cdot MB \cdot \cos\angle MBK';

MK'^2 = 648 + 144 - 2 \cdot 18\sqrt{2} \cdot 12 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2};

MK'^2 = 782 - 432 = 360, \quad MK' = 6\sqrt{10}.

Из

\triangle MKK'

получаем:

KK' = MK' \cdot \operatorname{tg} 30^\circ = 6\sqrt{10} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{30}.

Тогда

SO = 2 \cdot KK' = 4\sqrt{30}

. Ответ:

4\sqrt{30}

Ответ:

4\sqrt{30}

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
Сечения, подобие и теорема о трёх перпендикулярах
Площади, объёмы и расстояния в стереометрии

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Использовать свойство по рисунку без доказательства
Перепутать пространственный и линейный угол
Не проверить, что построенная точка принадлежит нужному ребру или плоскости

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1
Для пункта а) приведено полное геометрическое обоснование?
2
Все вспомогательные точки и плоскости определены однозначно?
3
Ответ пункта б) следует из записанных формул без необоснованных переходов?

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №15

Все задания линии №15 →

Многогранники и сеченияВ основании правильной треугольной пирамиды ABCD ABC со стороной, равной 6. Боковое ребро…FIPI ID 30ED04 Многогранники и сеченияВ основании правильной треугольной пирамиды ABCD ABC со стороной, равной 5. Боковое ребро…FIPI ID 149319 Многогранники и сеченияВ основании прямой треугольной призмы ABCA_(1)B_(1)C_(1) AB=BC ABC K — A_(1)B_(1) M AC…FIPI ID F7B7A1 Многогранники и сеченияНа ребре AA_(1) ABCDA_(1)B_(1)C_(1)D_(1) E так, что A_(1)E:EA=1:2 BB_(1) — F B_(1)F:FB=1:5 Т…FIPI ID E95564 Многогранники и сеченияВ основании пирамиды SABCD ABCD AB=5 BD=9 На диагонали BD ABCD E AS — F SF=BE=4 а) Докажите…FIPI ID EA6B32 Многогранники и сеченияВ правильной четырёхугольной пирамиде [ИЗОБРАЖЕНИЕ 1] сторона основания [ИЗОБРАЖЕНИЕ 2]…FIPI ID 03B44B

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №15Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена