Задание 66 из 66Многогранники и сечения

Линия №15 · Повышенный уровень

В правильной четырёхугольной пирамиде $S A BC D$ точки $M$ и $K$ $-$ середины рёбер $A B$ и $S D$ соответственно. а) Докажите, что прямая $M K$ параллельна плоскости $SBC .$ б) Найдите высоту пирамиды, если $A B = 24,$ а угол между прямой $M K$ и плоскостью основания пирамиды равен $3 0^{\circ} .$

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 325286

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Задание ФИПИ 325286 по стереометрии. В решении необходимо обосновать пункт а), а затем выполнить вычисления пункта б) с использованием пространственных свойств фигуры.

Ключевая идея: Построить сечение или вспомогательные перпендикуляры, обосновать пространственные отношения и свести вычисление к планиметрии, координатам либо объёмам..

Пошаговый разбор

Понятное решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Пример решения №1

Решение

а) Пусть

BQ

— медиана

\triangle SBC

. Тогда

KQ

— средняя линия

\triangle SDC

, значит,

KQ = \dfrac{1}{2}DC

KQ \parallel DC

. Так как

MB = \dfrac{1}{2}AB

MB \parallel KQ

MB = KQ

, то

KQBM

— параллелограмм. Таким образом,

KM \parallel BQ

, а так как

BQ

лежит в плоскости

(CBS)

, то

KM \parallel (CBS)

, ч.т.д.

Схема к решению стереометрической задачи

б) Пусть

KK' \perp (ABC)

KK' \parallel SO

K' \in BD

, тогда

K'M

— проекция прямой

KM

на

(ABC)

. Значит,

\angle(KM; (ABC)) = \angle KMK'

. Пусть

AC \cap BD = O

. Так как

K

— середина

SD

KK' \parallel SO

, то

KK'

— средняя линия

\triangle OSD

, тогда

KK' = \dfrac{1}{2}SO

K'

— середина

DO

BD = 24\sqrt{2}

как диагональ квадрата

ABCD

, тогда

BK' = \dfrac{3}{4}BD = 18\sqrt{2}

. Для

\triangle MBK'

по теореме косинусов:

MK'^2 = BK'^2 + MB^2 - 2 \cdot BK' \cdot MB \cdot \cos\angle MBK';

MK'^2 = 648 + 144 - 2 \cdot 18\sqrt{2} \cdot 12 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2};

MK'^2 = 782 - 432 = 360, \quad MK' = 6\sqrt{10}.

Из

\triangle MKK'

получаем:

KK' = MK' \cdot \operatorname{tg} 30^\circ = 6\sqrt{10} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{30}.

Тогда

SO = 2 \cdot KK' = 4\sqrt{30}

. Ответ:

4\sqrt{30}

Ответ:

4\sqrt{30}

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
Сечения, подобие и теорема о трёх перпендикулярах
Площади, объёмы и расстояния в стереометрии

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Использовать свойство по рисунку без доказательства
Перепутать пространственный и линейный угол
Не проверить, что построенная точка принадлежит нужному ребру или плоскости

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1Для пункта а) приведено полное геометрическое обоснование?
2Все вспомогательные точки и плоскости определены однозначно?
3Ответ пункта б) следует из записанных формул без необоснованных переходов?

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №15

Все задания линии №15 →

Многогранники и сеченияВ основании правильной треугольной пирамиды ABCD ABC со стороной, равной 6. Боковое ребро…FIPI ID 30ED04 Многогранники и сеченияВ основании правильной треугольной пирамиды ABCD ABC со стороной, равной 5. Боковое ребро…FIPI ID 149319 Многогранники и сеченияВ основании прямой треугольной призмы ABCA_(1)B_(1)C_(1) AB=BC ABC K — A_(1)B_(1) M AC…FIPI ID F7B7A1 Многогранники и сеченияНа ребре AA_(1) ABCDA_(1)B_(1)C_(1)D_(1) E так, что A_(1)E:EA=1:2 BB_(1) — F B_(1)F:FB=1:5 Т…FIPI ID E95564 Многогранники и сеченияВ основании пирамиды SABCD ABCD AB=5 BD=9 На диагонали BD ABCD E AS — F SF=BE=4 а) Докажите…FIPI ID EA6B32 Многогранники и сеченияВ правильной четырёхугольной пирамиде [ИЗОБРАЖЕНИЕ 1] сторона основания [ИЗОБРАЖЕНИЕ 2]…FIPI ID 03B44B

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №15Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена