Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 21 · ФИПИ 2C9FFA66 из 190

Автомобили: равные половины пути и время

Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал
весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути
со скоростью меньше скорости первого автомобиля на 11 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 66 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 40 км/ч.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 21, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 2C9FFA.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №21

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Связная запись: обозначения, уравнение, вычисления и ответ.

№ 21.

Решение.

Пусть xx км/ч — скорость первого автомобиля, x>40x>40. Скорости второго автомобиля на половинах пути равны x−11x-11 км/ч и 66 км/ч. Также x>11x>11.

Пусть s>0s>0 км — половина пути. Так как автомобили прибыли одновременно, их времена равны.

2sx\displaystyle \frac{2s}{x}=sx−11+s66\displaystyle =\frac{s}{x-11}+\frac{s}{66}
2x\displaystyle \frac{2}{x}=1x−11+166\displaystyle =\frac{1}{x-11}+\frac{1}{66}
132(x−11)\displaystyle 132(x-11)=66x+x(x−11)\displaystyle =66x+x(x-11)
x2−77x+1452\displaystyle x^{2} - 77 x + 1452=0\displaystyle =0
D\displaystyle D=(−77)2−4⋅1⋅1452\displaystyle =(-77)^2-4\cdot1\cdot1452=121\displaystyle =121
x1\displaystyle x_1=77−112\displaystyle =\frac{77-11}{2}=33\displaystyle =33
x2\displaystyle x_2=77+112\displaystyle =\frac{77+11}{2}=44\displaystyle =44

По смыслу задачи x>40x>40. Значение x=33x=33 не подходит. Следовательно, x=44x=44.

Ответ: 44  км/ч44\;\text{км/ч}.

На экзамене запишите номер задания, решение и ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим и другой математически верный, обоснованный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти скорость первого автомобиля.

Идея решения

Обозначим половину пути через s. Первый автомобиль едет весь путь 2s, второй проходит две равные части с разными скоростями. Приравняем времена и сократим на s.

Первый автомобиль
Постоянная скорость x
Скорости второго
x−11x-11 км/ч; 6666 км/ч
Время прибытия
Одинаковое

Обозначаем скорости

Пусть xx км/ч — скорость первого автомобиля, x>40x>40. Скорости второго автомобиля на половинах пути равны x−11x-11 км/ч и 66 км/ч. Также x>11x>11.

Две равные половины пути

Две равные половины пути. Учебная схема задания ФИПИ 2C9FFA.
Обозначения на чертеже
  • Время первой половины находится по её скорости.
  • Время второй половины находится отдельно.
Части пути равны по расстоянию. Их времена могут различаться.
Открыть схему крупнее ↗

Приравниваем времена движения

Пусть s>0s>0 км — половина пути. Так как автомобили прибыли одновременно, их времена равны.

2sx\frac{2s}{x}=sx−11=\frac{s}{x-11}+s66+\frac{s}{66}

Время первого автомобиля равно сумме времён второго.

2x\frac{2}{x}=1x−11=\frac{1}{x-11}+166+\frac{1}{66}

Делим обе части на s, поскольку s положительно.

Избавляемся от знаменателей

Умножаем обе части на общий знаменатель, который не равен нулю при указанных ограничениях.

132(x−11)132(x-11)=66x=66x+x(x−11)+x(x-11)

Раскрытие скобок приводит к квадратному уравнению.

Решаем квадратное уравнение

Используем формулу корней x=−b±D2ax=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}, где D=b2−4acD=b^2-4ac.

x2x^{2} −77x- 77 x +1452+ 1452=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=1,b=1,\quad b=−77,c=-77,\quad c=1452=1452

Коэффициенты записываем вместе со знаками.

DD=(−77)2=(-77)^2−4-4⋅1\cdot1⋅1452\cdot1452=121=121

Вычисляем дискриминант.

D\sqrt{D}=11=11

Извлекаем арифметический квадратный корень.

x1x_1=77−112=\frac{77-11}{2}=33=33

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

x2x_2=77+112=\frac{77+11}{2}=44=44

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

Применяем ограничения

По смыслу задачи x>40x>40. Значение x=33x=33 не подходит. Следовательно, x=44x=44.

Проверяем равенство времён

Проверим время на единицу половины пути. Умножение обеих частей на любое положительное s сохранит равенство.

244\frac{2}{44}=133=\frac{1}{33}+166+\frac{1}{66}

Равенство времён действительно выполняется.

Скорости положительны, и 44 > 40.

Записываем ответ

Найти скорость первого автомобиля.

44  км/ч44\;\text{км/ч}

Указываем найденную величину и её единицы измерения.

Что проверяет эксперт в задании №21

По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года за задание можно получить до 2 баллов. Оцениваются составленная модель, ход решения и ответ.

2 балла
Ход решения верный и получен правильный ответ.
1 балл
Верно составлена математическая модель, но решение не завершено или содержит ошибки. Либо решение в целом верное, но есть несущественные недостатки или вычислительные ошибки.
0 баллов
Решение не отвечает указанным критериям. Одной записи ответа без обоснования недостаточно.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 и методические материалы для экспертов 2026. Образец записи и подробное объяснение подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены уравнения, ограничения, вычисления и соответствие ответа исходному условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Обозначьте неизвестную скорость через x, половину пути — через s.
  2. Запишите время первого автомобиля и сумму времён второго.
  3. Приравняйте времена и сократите положительный множитель s.
  4. Решите квадратное уравнение.
  5. Выберите корень с учётом всех ограничений из условия.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Для половины пути s время равно sv\dfrac{s}{v}.
  • Для всего пути 2s время равно 2sv\dfrac{2s}{v}.
  • Средняя скорость на равных расстояниях не равна обычному среднему двух скоростей.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Забыть, что первый автомобиль проходит весь путь, а не половину.
  • Усреднить скорости вместо сравнения времён.
  • Оставить два корня, не применив условие о скорости.
Все задания №21 (190)