Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 21 · ФИПИ 62EA5C30 из 190

Работа: производительность первого рабочего

Первый рабочий за час делает на 5 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 200 деталей, на 2 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 21, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 62EA5C.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №21

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Связная запись: обозначения, уравнение, вычисления и ответ.

№ 21.

Решение.

Пусть xx деталей в час — производительность второго рабочего, x>0x>0. Тогда производительность первого рабочего равна x+5x+5 деталей в час.

По условию получаем уравнение:

200x−200x+5\displaystyle \frac{200}{x}-\frac{200}{x+5}=2\displaystyle =2
200(x+5)−200x\displaystyle 200(x+5)-200x=2x(x+5)\displaystyle =2x(x+5)
1000\displaystyle 1000=2x2+10x\displaystyle =2x^2+10x
x2+5x−500\displaystyle x^{2} + 5 x - 500=0\displaystyle =0
D\displaystyle D=52−4⋅1⋅(−500)\displaystyle =5^2-4\cdot1\cdot(-500)=2025\displaystyle =2025
x1\displaystyle x_1=−5−452\displaystyle =\frac{-5-45}{2}=−25\displaystyle =-25
x2\displaystyle x_2=−5+452\displaystyle =\frac{-5+45}{2}=20\displaystyle =20

По смыслу задачи x>0x>0. Значение x=−25x=-25 не подходит. Следовательно, x=20x=20.

Производительность первого рабочего:

20+5\displaystyle 20+5=25\displaystyle =25

Ответ: 25  деталей в час25\;\text{деталей в час}.

На экзамене запишите номер задания, решение и ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим и другой математически верный, обоснованный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти производительность первого рабочего.

Идея решения

При одинаковом объёме работы большая производительность даёт меньшее время. Время второго рабочего больше времени первого рабочего на 2 ч.

Объём каждого заказа
200 деталей
Разница производительностей
5 деталей в час
Разница времени
2 ч

Выбираем неизвестное

Пусть xx деталей в час — производительность второго рабочего, x>0x>0. Тогда производительность первого рабочего равна x+5x+5 деталей в час.

Один объём — два времени

Один объём — два времени. Учебная схема задания ФИПИ 62EA5C.
Обозначения на чертеже
  • x — меньшая производительность.
  • При одинаковом объёме работы большее время соответствует меньшей производительности.
Учебная схема условная: длины и положение объектов не задают масштаб.
Открыть схему крупнее ↗

Выражаем время

Время равно объёму работы, делённому на производительность.

200x\frac{200}{x}

Время второго рабочего, ч.

200x+5\frac{200}{x+5}

Время первого рабочего, ч.

При одинаковом объёме работы большая производительность даёт меньшее время. Время второго рабочего больше времени первого рабочего на 2 ч.

Составляем и преобразуем уравнение

При одинаковом объёме работы большая производительность даёт меньшее время. Время второго рабочего больше времени первого рабочего на 2 ч.

200x\frac{200}{x}−200x+5-\frac{200}{x+5}=2=2

Из большего времени вычитаем меньшее.

200(x+5)200(x+5)−200x-200x=2x(x+5)=2x(x+5)

Умножаем обе части на положительный общий знаменатель x(x+5).

10001000=2x2=2x^2+10x+10x

Раскрываем скобки и сокращаем одинаковые слагаемые.

Решаем квадратное уравнение

Используем формулу корней x=−b±D2ax=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}, где D=b2−4acD=b^2-4ac.

x2x^{2} +5x+ 5 x −500- 500=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=1,b=1,\quad b=5,c=5,\quad c=−500=-500

Коэффициенты записываем вместе со знаками.

DD=52=5^2−4-4⋅1\cdot1⋅(−500)\cdot(-500)=2025=2025

Вычисляем дискриминант.

D\sqrt{D}=45=45

Извлекаем арифметический квадратный корень.

x1x_1=−5−452=\frac{-5-45}{2}=−25=-25

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

x2x_2=−5+452=\frac{-5+45}{2}=20=20

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

Отбираем корень и отвечаем на вопрос

По смыслу задачи x>0x>0. Значение x=−25x=-25 не подходит. Следовательно, x=20x=20.

2020+5+5=25=25

Нужна производительность первого рабочего; прибавляем разницу 5.

Проверяем исходное условие

Вычислим оба времени с найденными значениями.

20020\frac{200}{20}=10=10

Время второго рабочего, ч.

20025\frac{200}{25}=8=8

Время первого рабочего, ч.

1010−8-8=2=2

Разность времён равна 2 ч, как в условии.

Записываем ответ

Найти производительность первого рабочего.

25  деталей в час25\;\text{деталей в час}

Указываем найденную величину и её единицы измерения.

Что проверяет эксперт в задании №21

По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года за задание можно получить до 2 баллов. Оцениваются составленная модель, ход решения и ответ.

2 балла
Ход решения верный и получен правильный ответ.
1 балл
Верно составлена математическая модель, но решение не завершено или содержит ошибки. Либо решение в целом верное, но есть несущественные недостатки или вычислительные ошибки.
0 баллов
Решение не отвечает указанным критериям. Одной записи ответа без обоснования недостаточно.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 и методические материалы для экспертов 2026. Образец записи и подробное объяснение подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены уравнения, ограничения, вычисления и соответствие ответа исходному условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Обозначьте меньшую производительность через x.
  2. Разделите объём работы на каждую производительность.
  3. Из большего времени вычтите меньшее.
  4. Решите уравнение и сохраните положительный корень.
  5. Найдите величину из вопроса задачи и проверьте времена.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Время выполнения заказа: t=Apt=\dfrac{A}{p}, где A — объём работы, p — производительность.
  • Литры и минуты нельзя смешивать с другими единицами без перевода.
  • Если x>0x>0 и d>0d>0, то x(x+d)>0x(x+d)>0, поэтому общий знаменатель не равен нулю.
  • Для квадратного уравнения ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0: D=b2−4acD=b^2-4ac.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Перепутать, чья производительность обозначена через x.
  • Вычесть большее время из меньшего и приравнять результат положительному числу 2.
  • Принять отрицательный корень.
  • Найти x и забыть ответить на вопрос об увеличенной величине.
Все задания №21 (190)