Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 21 · ФИПИ 9468B893 из 190

Смеси: масса кислоты в первом растворе

Имеются два сосуда, содержащие 40 кг и 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 33% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 47% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 21, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 9468B8.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №21

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Связная запись: обозначения, уравнение, вычисления и ответ.

№ 21.

Решение.

Пусть xx и yy — процентное содержание кислоты в первом и втором растворах соответственно; 0<x<1000<x<100, 0<y<1000<y<100.

По условиям двух смешиваний получаем:

{40x+20y=1980,x+y=94.\displaystyle \begin{cases}40x+20y=1980,\\x+y=94.\end{cases}

Выразим y и подставим в первое уравнение:

y\displaystyle y=94−x\displaystyle =94-x
40x+20(94−x)\displaystyle 40x+20(94-x)=1980\displaystyle =1980
20x+1880\displaystyle 20 x + 1880=1980\displaystyle =1980
20x\displaystyle 20x=100\displaystyle =100
x\displaystyle x=10020\displaystyle =\frac{100}{20}=5\displaystyle =5
y\displaystyle y=94−5\displaystyle =94-5=89\displaystyle =89

Масса кислоты в первом растворе:

40⋅5100\displaystyle 40\cdot\frac{5}{100}=2\displaystyle =2

Ответ: 2  кг2\;\text{кг}.

На экзамене запишите номер задания, решение и ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим и другой математически верный, обоснованный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти массу кислоты в первом сосуде.

Идея решения

Первое смешивание даёт взвешенное среднее концентраций. При смешивании равных масс концентрация равна среднему арифметическому. Эти два условия дают систему.

Массы растворов
40 кг и 20 кг
Смесь всего содержимого
33% кислоты
Смесь равных масс
47% кислоты

Обозначаем концентрации

Пусть xx и yy — процентное содержание кислоты в первом и втором растворах соответственно; 0<x<1000<x<100, 0<y<1000<y<100.

Два условия смешивания

Два условия смешивания. Учебная схема задания ФИПИ 9468B8.
Обозначения на чертеже
  • x% — концентрация первого раствора.
  • y% — концентрация второго раствора.
В первом смешивании берут всё содержимое сосудов. Условие о равных массах относится к другому смешиванию.
Открыть схему крупнее ↗

Используем смешивание всего содержимого

Вместе растворы весят 60 кг и содержат 33% кислоты. Сумма масс кислоты до смешивания равна массе кислоты после него.

40x100\frac{40x}{100}+20y100+\frac{20y}{100}=1980100=\frac{1980}{100}

Массы кислоты в килограммах.

40x40x+20y+20y=1980=1980

Умножили уравнение на 100.

Используем смешивание равных масс

Если взять из обоих сосудов одинаковую массу, то концентрация смеси равна среднему их процентов. По условию это 47%.

x+y2\frac{x+y}{2}=47=47

Среднее двух концентраций.

xx+y+y=94=94

Умножили на 2.

Решаем систему подстановкой

Из второго уравнения выражаем y и подставляем в первое.

yy=94=94−x-x

Процент кислоты во втором растворе через x.

40x40x+20(94−x)+20(94-x)=1980=1980

Подстановка в первое уравнение.

20x20 x +1880+ 1880=1980=1980

Раскрываем скобки и собираем слагаемые.

20x20x=100=100

Переносим постоянное слагаемое вправо.

xx=10020=\frac{100}{20}=5=5

Получили процент кислоты в первом растворе.

yy=94=94−5-5=89=89

Восстанавливаем процент во втором растворе.

Находим именно массу кислоты

Вопрос относится к первому сосуду. Умножаем массу его раствора на долю кислоты.

4040⋅5100\cdot\frac{5}{100}=2=2

Результат выражен в килограммах, а не в процентах.

Проверяем оба смешивания

Подставляем найденные концентрации в оба условия.

40⋅5+20⋅8960\frac{40\cdot5+20\cdot89}{60}=33=33

Концентрация при смешивании всего содержимого, %.

5+892\frac{5+89}{2}=47=47

Концентрация при смешивании равных масс, %.

Записываем ответ

Найти массу кислоты в первом сосуде.

2  кг2\;\text{кг}

Указываем найденную величину и её единицы измерения.

Что проверяет эксперт в задании №21

По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года за задание можно получить до 2 баллов. Оцениваются составленная модель, ход решения и ответ.

2 балла
Ход решения верный и получен правильный ответ.
1 балл
Верно составлена математическая модель, но решение не завершено или содержит ошибки. Либо решение в целом верное, но есть несущественные недостатки или вычислительные ошибки.
0 баллов
Решение не отвечает указанным критериям. Одной записи ответа без обоснования недостаточно.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 и методические материалы для экспертов 2026. Образец записи и подробное объяснение подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены уравнения, ограничения, вычисления и соответствие ответа исходному условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Обозначьте неизвестные концентрации.
  2. Составьте равенство масс кислоты при полном смешивании.
  3. Для равных масс запишите среднее концентраций.
  4. Решите полученную систему.
  5. Умножьте массу нужного раствора на найденную долю кислоты.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Количество кислоты при смешивании сохраняется.
  • Масса кислоты в растворе массы m с концентрацией p% равна mp100\dfrac{mp}{100}.
  • При разных массах растворов проценты нельзя просто усреднять.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Применить среднее арифметическое к растворам разных масс.
  • Перепутать первый и второй сосуды.
  • Дать в ответе процент вместо массы кислоты.
Все задания №21 (190)