Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 21 · ФИПИ E0621D19 из 190

Велосипедист: обратный путь с остановкой

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 180 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 5 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 21, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание E0621D.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №21

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Связная запись: обозначения, уравнение, вычисления и ответ.

№ 21.

Решение.

Пусть xx км/ч — скорость велосипедиста на пути из А в В, x>0x>0. Тогда скорость велосипедиста на обратном пути равна x+5x+5 км/ч.

По условию получаем уравнение:

180x−180x+5\displaystyle \frac{180}{x}-\frac{180}{x+5}=3\displaystyle =3
180(x+5)−180x\displaystyle 180(x+5)-180x=3x(x+5)\displaystyle =3x(x+5)
900\displaystyle 900=3x2+15x\displaystyle =3x^2+15x
x2+5x−300\displaystyle x^{2} + 5 x - 300=0\displaystyle =0
D\displaystyle D=52−4⋅1⋅(−300)\displaystyle =5^2-4\cdot1\cdot(-300)=1225\displaystyle =1225
x1\displaystyle x_1=−5−352\displaystyle =\frac{-5-35}{2}=−20\displaystyle =-20
x2\displaystyle x_2=−5+352\displaystyle =\frac{-5+35}{2}=15\displaystyle =15

По смыслу задачи x>0x>0. Значение x=−20x=-20 не подходит. Следовательно, x=15x=15.

Скорость велосипедиста на обратном пути:

15+5\displaystyle 15+5=20\displaystyle =20

Ответ: 20  км/ч20\;\text{км/ч}.

На экзамене запишите номер задания, решение и ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим и другой математически верный, обоснованный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти скорость велосипедиста на обратном пути.

Идея решения

На обратном пути велосипедист двигался быстрее, но сделал остановку на 3 ч. Поэтому время движения из А в В больше времени движения обратно на 3 ч.

Расстояние
180 км
Разница скоростей
5 км/ч
Остановка
3 ч

Выбираем неизвестное

Пусть xx км/ч — скорость велосипедиста на пути из А в В, x>0x>0. Тогда скорость велосипедиста на обратном пути равна x+5x+5 км/ч.

Одинаковый путь — два времени

Одинаковый путь — два времени. Учебная схема задания ФИПИ E0621D.
Обозначения на чертеже
  • x — меньшая скорость.
  • При одинаковом объёме пути большее время соответствует меньшей скорости.
Учебная схема условная: длины и положение объектов не задают масштаб.
Открыть схему крупнее ↗

Выражаем время

Время равно пути, делённому на скорость.

180x\frac{180}{x}

Время велосипедиста на пути из А в В, ч.

180x+5\frac{180}{x+5}

Время велосипедиста на обратном пути, ч.

На обратном пути велосипедист двигался быстрее, но сделал остановку на 3 ч. Поэтому время движения из А в В больше времени движения обратно на 3 ч.

Составляем и преобразуем уравнение

На обратном пути велосипедист двигался быстрее, но сделал остановку на 3 ч. Поэтому время движения из А в В больше времени движения обратно на 3 ч.

180x\frac{180}{x}−180x+5-\frac{180}{x+5}=3=3

Из большего времени вычитаем меньшее.

180(x+5)180(x+5)−180x-180x=3x(x+5)=3x(x+5)

Умножаем обе части на положительный общий знаменатель x(x+5).

900900=3x2=3x^2+15x+15x

Раскрываем скобки и сокращаем одинаковые слагаемые.

Решаем квадратное уравнение

Используем формулу корней x=−b±D2ax=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}, где D=b2−4acD=b^2-4ac.

x2x^{2} +5x+ 5 x −300- 300=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=1,b=1,\quad b=5,c=5,\quad c=−300=-300

Коэффициенты записываем вместе со знаками.

DD=52=5^2−4-4⋅1\cdot1⋅(−300)\cdot(-300)=1225=1225

Вычисляем дискриминант.

D\sqrt{D}=35=35

Извлекаем арифметический квадратный корень.

x1x_1=−5−352=\frac{-5-35}{2}=−20=-20

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

x2x_2=−5+352=\frac{-5+35}{2}=15=15

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

Отбираем корень и отвечаем на вопрос

По смыслу задачи x>0x>0. Значение x=−20x=-20 не подходит. Следовательно, x=15x=15.

1515+5+5=20=20

Нужна скорость велосипедиста на обратном пути; прибавляем разницу 5.

Проверяем исходное условие

Вычислим оба времени с найденными значениями.

18015\frac{180}{15}=12=12

Время велосипедиста на пути из А в В, ч.

18020\frac{180}{20}=9=9

Время велосипедиста на обратном пути, ч.

1212−9-9=3=3

Разность времён равна 3 ч, как в условии.

Записываем ответ

Найти скорость велосипедиста на обратном пути.

20  км/ч20\;\text{км/ч}

Указываем найденную величину и её единицы измерения.

Что проверяет эксперт в задании №21

По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года за задание можно получить до 2 баллов. Оцениваются составленная модель, ход решения и ответ.

2 балла
Ход решения верный и получен правильный ответ.
1 балл
Верно составлена математическая модель, но решение не завершено или содержит ошибки. Либо решение в целом верное, но есть несущественные недостатки или вычислительные ошибки.
0 баллов
Решение не отвечает указанным критериям. Одной записи ответа без обоснования недостаточно.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 и методические материалы для экспертов 2026. Образец записи и подробное объяснение подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены уравнения, ограничения, вычисления и соответствие ответа исходному условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Обозначьте неизвестную скорость и запишите её допустимые значения.
  2. Выразите скорости и времена для каждого участка пути.
  3. Свяжите времена с помощью условия задачи и составьте уравнение.
  4. Покажите преобразования, решите уравнение и отберите допустимый корень.
  5. Проверьте исходное условие и ответьте именно на вопрос задачи.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • При равномерном движении s=vts=vt, поэтому t=svt=\dfrac{s}{v}.
  • При одинаковом пути большая скорость означает меньшее время.
  • Если x>0x>0 и d>0d>0, то x(x+d)>0x(x+d)>0, поэтому общий знаменатель не равен нулю.
  • Для квадратного уравнения ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0: D=b2−4acD=b^2-4ac.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Перепутать, чья скорость обозначена через x.
  • Вычесть большее время из меньшего и приравнять результат положительному числу 3.
  • Принять отрицательный корень.
  • Найти x и забыть ответить на вопрос об увеличенной величине.
Все задания №21 (190)