Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 21 · ФИПИ 92026741 из 190

Велосипедист: обратный путь с остановкой

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 224 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 2 км/ч. По пути он сделал остановку на 2 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 21, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 920267.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №21

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Связная запись: обозначения, уравнение, вычисления и ответ.

№ 21.

Решение.

Пусть xx км/ч — скорость велосипедиста на пути из А в В, x>0x>0. Тогда скорость велосипедиста на обратном пути равна x+2x+2 км/ч.

По условию получаем уравнение:

224x−224x+2\displaystyle \frac{224}{x}-\frac{224}{x+2}=2\displaystyle =2
224(x+2)−224x\displaystyle 224(x+2)-224x=2x(x+2)\displaystyle =2x(x+2)
448\displaystyle 448=2x2+4x\displaystyle =2x^2+4x
x2+2x−224\displaystyle x^{2} + 2 x - 224=0\displaystyle =0
D\displaystyle D=22−4⋅1⋅(−224)\displaystyle =2^2-4\cdot1\cdot(-224)=900\displaystyle =900
x1\displaystyle x_1=−2−302\displaystyle =\frac{-2-30}{2}=−16\displaystyle =-16
x2\displaystyle x_2=−2+302\displaystyle =\frac{-2+30}{2}=14\displaystyle =14

По смыслу задачи x>0x>0. Значение x=−16x=-16 не подходит. Следовательно, x=14x=14.

Скорость велосипедиста на обратном пути:

14+2\displaystyle 14+2=16\displaystyle =16

Ответ: 16  км/ч16\;\text{км/ч}.

На экзамене запишите номер задания, решение и ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим и другой математически верный, обоснованный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти скорость велосипедиста на обратном пути.

Идея решения

На обратном пути велосипедист двигался быстрее, но сделал остановку на 2 ч. Поэтому время движения из А в В больше времени движения обратно на 2 ч.

Расстояние
224 км
Разница скоростей
2 км/ч
Остановка
2 ч

Выбираем неизвестное

Пусть xx км/ч — скорость велосипедиста на пути из А в В, x>0x>0. Тогда скорость велосипедиста на обратном пути равна x+2x+2 км/ч.

Одинаковый путь — два времени

Одинаковый путь — два времени. Учебная схема задания ФИПИ 920267.
Обозначения на чертеже
  • x — меньшая скорость.
  • При одинаковом объёме пути большее время соответствует меньшей скорости.
Учебная схема условная: длины и положение объектов не задают масштаб.
Открыть схему крупнее ↗

Выражаем время

Время равно пути, делённому на скорость.

224x\frac{224}{x}

Время велосипедиста на пути из А в В, ч.

224x+2\frac{224}{x+2}

Время велосипедиста на обратном пути, ч.

На обратном пути велосипедист двигался быстрее, но сделал остановку на 2 ч. Поэтому время движения из А в В больше времени движения обратно на 2 ч.

Составляем и преобразуем уравнение

На обратном пути велосипедист двигался быстрее, но сделал остановку на 2 ч. Поэтому время движения из А в В больше времени движения обратно на 2 ч.

224x\frac{224}{x}−224x+2-\frac{224}{x+2}=2=2

Из большего времени вычитаем меньшее.

224(x+2)224(x+2)−224x-224x=2x(x+2)=2x(x+2)

Умножаем обе части на положительный общий знаменатель x(x+2).

448448=2x2=2x^2+4x+4x

Раскрываем скобки и сокращаем одинаковые слагаемые.

Решаем квадратное уравнение

Используем формулу корней x=−b±D2ax=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}, где D=b2−4acD=b^2-4ac.

x2x^{2} +2x+ 2 x −224- 224=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=1,b=1,\quad b=2,c=2,\quad c=−224=-224

Коэффициенты записываем вместе со знаками.

DD=22=2^2−4-4⋅1\cdot1⋅(−224)\cdot(-224)=900=900

Вычисляем дискриминант.

D\sqrt{D}=30=30

Извлекаем арифметический квадратный корень.

x1x_1=−2−302=\frac{-2-30}{2}=−16=-16

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

x2x_2=−2+302=\frac{-2+30}{2}=14=14

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

Отбираем корень и отвечаем на вопрос

По смыслу задачи x>0x>0. Значение x=−16x=-16 не подходит. Следовательно, x=14x=14.

1414+2+2=16=16

Нужна скорость велосипедиста на обратном пути; прибавляем разницу 2.

Проверяем исходное условие

Вычислим оба времени с найденными значениями.

22414\frac{224}{14}=16=16

Время велосипедиста на пути из А в В, ч.

22416\frac{224}{16}=14=14

Время велосипедиста на обратном пути, ч.

1616−14-14=2=2

Разность времён равна 2 ч, как в условии.

Записываем ответ

Найти скорость велосипедиста на обратном пути.

16  км/ч16\;\text{км/ч}

Указываем найденную величину и её единицы измерения.

Что проверяет эксперт в задании №21

По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года за задание можно получить до 2 баллов. Оцениваются составленная модель, ход решения и ответ.

2 балла
Ход решения верный и получен правильный ответ.
1 балл
Верно составлена математическая модель, но решение не завершено или содержит ошибки. Либо решение в целом верное, но есть несущественные недостатки или вычислительные ошибки.
0 баллов
Решение не отвечает указанным критериям. Одной записи ответа без обоснования недостаточно.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 и методические материалы для экспертов 2026. Образец записи и подробное объяснение подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены уравнения, ограничения, вычисления и соответствие ответа исходному условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Обозначьте неизвестную скорость и запишите её допустимые значения.
  2. Выразите скорости и времена для каждого участка пути.
  3. Свяжите времена с помощью условия задачи и составьте уравнение.
  4. Покажите преобразования, решите уравнение и отберите допустимый корень.
  5. Проверьте исходное условие и ответьте именно на вопрос задачи.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • При равномерном движении s=vts=vt, поэтому t=svt=\dfrac{s}{v}.
  • При одинаковом пути большая скорость означает меньшее время.
  • Если x>0x>0 и d>0d>0, то x(x+d)>0x(x+d)>0, поэтому общий знаменатель не равен нулю.
  • Для квадратного уравнения ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0: D=b2−4acD=b^2-4ac.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Перепутать, чья скорость обозначена через x.
  • Вычесть большее время из меньшего и приравнять результат положительному числу 2.
  • Принять отрицательный корень.
  • Найти x и забыть ответить на вопрос об увеличенной величине.
Все задания №21 (190)