Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 21 · ФИПИ 44A34A51 из 190

Велосипедист: скорость на пути из А в В

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 112 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 9 км/ч. По пути он сделал остановку на 4 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 21, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 44A34A.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №21

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Связная запись: обозначения, уравнение, вычисления и ответ.

№ 21.

Решение.

Пусть xx км/ч — скорость велосипедиста на пути из А в В, x>0x>0. Тогда скорость велосипедиста на обратном пути равна x+9x+9 км/ч.

По условию получаем уравнение:

112x−112x+9\displaystyle \frac{112}{x}-\frac{112}{x+9}=4\displaystyle =4
112(x+9)−112x\displaystyle 112(x+9)-112x=4x(x+9)\displaystyle =4x(x+9)
1008\displaystyle 1008=4x2+36x\displaystyle =4x^2+36x
x2+9x−252\displaystyle x^{2} + 9 x - 252=0\displaystyle =0
D\displaystyle D=92−4⋅1⋅(−252)\displaystyle =9^2-4\cdot1\cdot(-252)=1089\displaystyle =1089
x1\displaystyle x_1=−9−332\displaystyle =\frac{-9-33}{2}=−21\displaystyle =-21
x2\displaystyle x_2=−9+332\displaystyle =\frac{-9+33}{2}=12\displaystyle =12

По смыслу задачи x>0x>0. Значение x=−21x=-21 не подходит. Следовательно, x=12x=12.

Ответ: 12  км/ч12\;\text{км/ч}.

На экзамене запишите номер задания, решение и ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим и другой математически верный, обоснованный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти скорость велосипедиста на пути из А в В.

Идея решения

На обратном пути велосипедист двигался быстрее, но сделал остановку на 4 ч. Поэтому время движения из А в В больше времени движения обратно на 4 ч.

Расстояние
112 км
Разница скоростей
9 км/ч
Остановка
4 ч

Выбираем неизвестное

Пусть xx км/ч — скорость велосипедиста на пути из А в В, x>0x>0. Тогда скорость велосипедиста на обратном пути равна x+9x+9 км/ч.

Одинаковый путь — два времени

Одинаковый путь — два времени. Учебная схема задания ФИПИ 44A34A.
Обозначения на чертеже
  • x — меньшая скорость.
  • При одинаковом объёме пути большее время соответствует меньшей скорости.
Учебная схема условная: длины и положение объектов не задают масштаб.
Открыть схему крупнее ↗

Выражаем время

Время равно пути, делённому на скорость.

112x\frac{112}{x}

Время велосипедиста на пути из А в В, ч.

112x+9\frac{112}{x+9}

Время велосипедиста на обратном пути, ч.

На обратном пути велосипедист двигался быстрее, но сделал остановку на 4 ч. Поэтому время движения из А в В больше времени движения обратно на 4 ч.

Составляем и преобразуем уравнение

На обратном пути велосипедист двигался быстрее, но сделал остановку на 4 ч. Поэтому время движения из А в В больше времени движения обратно на 4 ч.

112x\frac{112}{x}−112x+9-\frac{112}{x+9}=4=4

Из большего времени вычитаем меньшее.

112(x+9)112(x+9)−112x-112x=4x(x+9)=4x(x+9)

Умножаем обе части на положительный общий знаменатель x(x+9).

10081008=4x2=4x^2+36x+36x

Раскрываем скобки и сокращаем одинаковые слагаемые.

Решаем квадратное уравнение

Используем формулу корней x=−b±D2ax=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}, где D=b2−4acD=b^2-4ac.

x2x^{2} +9x+ 9 x −252- 252=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=1,b=1,\quad b=9,c=9,\quad c=−252=-252

Коэффициенты записываем вместе со знаками.

DD=92=9^2−4-4⋅1\cdot1⋅(−252)\cdot(-252)=1089=1089

Вычисляем дискриминант.

D\sqrt{D}=33=33

Извлекаем арифметический квадратный корень.

x1x_1=−9−332=\frac{-9-33}{2}=−21=-21

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

x2x_2=−9+332=\frac{-9+33}{2}=12=12

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

Отбираем корень и отвечаем на вопрос

По смыслу задачи x>0x>0. Значение x=−21x=-21 не подходит. Следовательно, x=12x=12.

Полученное x уже является искомой величиной.

Проверяем исходное условие

Вычислим оба времени с найденными значениями.

11212\frac{112}{12}=283=\frac{28}{3}

Время велосипедиста на пути из А в В, ч.

11221\frac{112}{21}=163=\frac{16}{3}

Время велосипедиста на обратном пути, ч.

283\frac{28}{3}−163-\frac{16}{3}=4=4

Разность времён равна 4 ч, как в условии.

Записываем ответ

Найти скорость велосипедиста на пути из А в В.

12  км/ч12\;\text{км/ч}

Указываем найденную величину и её единицы измерения.

Что проверяет эксперт в задании №21

По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года за задание можно получить до 2 баллов. Оцениваются составленная модель, ход решения и ответ.

2 балла
Ход решения верный и получен правильный ответ.
1 балл
Верно составлена математическая модель, но решение не завершено или содержит ошибки. Либо решение в целом верное, но есть несущественные недостатки или вычислительные ошибки.
0 баллов
Решение не отвечает указанным критериям. Одной записи ответа без обоснования недостаточно.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 и методические материалы для экспертов 2026. Образец записи и подробное объяснение подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены уравнения, ограничения, вычисления и соответствие ответа исходному условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Обозначьте неизвестную скорость и запишите её допустимые значения.
  2. Выразите скорости и времена для каждого участка пути.
  3. Свяжите времена с помощью условия задачи и составьте уравнение.
  4. Покажите преобразования, решите уравнение и отберите допустимый корень.
  5. Проверьте исходное условие и ответьте именно на вопрос задачи.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • При равномерном движении s=vts=vt, поэтому t=svt=\dfrac{s}{v}.
  • При одинаковом пути большая скорость означает меньшее время.
  • Если x>0x>0 и d>0d>0, то x(x+d)>0x(x+d)>0, поэтому общий знаменатель не равен нулю.
  • Для квадратного уравнения ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0: D=b2−4acD=b^2-4ac.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Перепутать, чья скорость обозначена через x.
  • Вычесть большее время из меньшего и приравнять результат положительному числу 4.
  • Принять отрицательный корень.
  • Найти x и забыть ответить на вопрос об искомой величине.
Все задания №21 (190)