ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 21 · ФИПИ 7AE890146 из 190
Смеси: масса кислоты в втором растворе
21
Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 42 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 40% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 37% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?
ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ
Сначала решите на бумаге
Запишите номер 21, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.
Связная запись: обозначения, уравнение, вычисления и ответ.
№ 21.
Решение.
Пусть x и y — процентное содержание кислоты в первом и втором растворах соответственно; 0<x<100,0<y<100.
По условиям двух смешиваний получаем:
{30x+42y=2880,x+y=74.
Выразим y и подставим в первое уравнение:
y=74−x
30x+42(74−x)=2880
−12x+3108=2880
−12x=−228
x=−12−228=19
y=74−19=55
Масса кислоты в втором растворе:
42⋅10055=10231
Ответ:23,1кг.
На экзамене запишите номер задания, решение и ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим и другой математически верный, обоснованный способ решения.
Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг
Что нужно найти
Найти массу кислоты в втором сосуде.
Идея решения
Первое смешивание даёт взвешенное среднее концентраций. При смешивании равных масс концентрация равна среднему арифметическому. Эти два условия дают систему.
Массы растворов
30 кг и 42 кг
Смесь всего содержимого
40% кислоты
Смесь равных масс
37% кислоты
1Обозначаем концентрации
Пусть x и y — процентное содержание кислоты в первом и втором растворах соответственно; 0<x<100, 0<y<100.
Два условия смешивания
Обозначения на чертеже
x% — концентрация первого раствора.
y% — концентрация второго раствора.
В первом смешивании берут всё содержимое сосудов. Условие о равных массах относится к другому смешиванию.Открыть схему крупнее ↗
2Используем смешивание всего содержимого
Вместе растворы весят 72 кг и содержат 40% кислоты. Сумма масс кислоты до смешивания равна массе кислоты после него.
10030x+10042y=1002880
Массы кислоты в килограммах.
30x+42y=2880
Умножили уравнение на 100.
3Используем смешивание равных масс
Если взять из обоих сосудов одинаковую массу, то концентрация смеси равна среднему их процентов. По условию это 37%.
2x+y=37
Среднее двух концентраций.
x+y=74
Умножили на 2.
4Решаем систему подстановкой
Из второго уравнения выражаем y и подставляем в первое.
y=74−x
Процент кислоты во втором растворе через x.
30x+42(74−x)=2880
Подстановка в первое уравнение.
−12x+3108=2880
Раскрываем скобки и собираем слагаемые.
−12x=−228
Переносим постоянное слагаемое вправо.
x=−12−228=19
Получили процент кислоты в первом растворе.
y=74−19=55
Восстанавливаем процент во втором растворе.
5Находим именно массу кислоты
Вопрос относится к второму сосуду. Умножаем массу его раствора на долю кислоты.
42⋅10055=10231
Результат выражен в килограммах, а не в процентах.
6Проверяем оба смешивания
Подставляем найденные концентрации в оба условия.
7230⋅19+42⋅55=40
Концентрация при смешивании всего содержимого, %.
219+55=37
Концентрация при смешивании равных масс, %.
7Записываем ответ
Найти массу кислоты в втором сосуде.
23,1кг
Указываем найденную величину и её единицы измерения.
Что проверяет эксперт в задании №21
По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года за задание можно получить до 2 баллов. Оцениваются составленная модель, ход решения и ответ.
2 балла
Ход решения верный и получен правильный ответ.
1 балл
Верно составлена математическая модель, но решение не завершено или содержит ошибки. Либо решение в целом верное, но есть несущественные недостатки или вычислительные ошибки.
0 баллов
Решение не отвечает указанным критериям. Одной записи ответа без обоснования недостаточно.
