ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 21 · ФИПИ FC8DBB86 из 190
Смеси: масса кислоты в первом растворе
21
Имеются два сосуда, содержащие 4 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 57% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 60% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?
ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ
Сначала решите на бумаге
Запишите номер 21, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.
Связная запись: обозначения, уравнение, вычисления и ответ.
№ 21.
Решение.
Пусть x и y — процентное содержание кислоты в первом и втором растворах соответственно; 0<x<100,0<y<100.
По условиям двух смешиваний получаем:
{4x+16y=1140,x+y=120.
Выразим y и подставим в первое уравнение:
y=120−x
4x+16(120−x)=1140
−12x+1920=1140
−12x=−780
x=−12−780=65
y=120−65=55
Масса кислоты в первом растворе:
4⋅10065=513
Ответ:2,6кг.
На экзамене запишите номер задания, решение и ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим и другой математически верный, обоснованный способ решения.
Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг
Что нужно найти
Найти массу кислоты в первом сосуде.
Идея решения
Первое смешивание даёт взвешенное среднее концентраций. При смешивании равных масс концентрация равна среднему арифметическому. Эти два условия дают систему.
Массы растворов
4 кг и 16 кг
Смесь всего содержимого
57% кислоты
Смесь равных масс
60% кислоты
1Обозначаем концентрации
Пусть x и y — процентное содержание кислоты в первом и втором растворах соответственно; 0<x<100, 0<y<100.
Два условия смешивания
Обозначения на чертеже
x% — концентрация первого раствора.
y% — концентрация второго раствора.
В первом смешивании берут всё содержимое сосудов. Условие о равных массах относится к другому смешиванию.Открыть схему крупнее ↗
2Используем смешивание всего содержимого
Вместе растворы весят 20 кг и содержат 57% кислоты. Сумма масс кислоты до смешивания равна массе кислоты после него.
1004x+10016y=1001140
Массы кислоты в килограммах.
4x+16y=1140
Умножили уравнение на 100.
3Используем смешивание равных масс
Если взять из обоих сосудов одинаковую массу, то концентрация смеси равна среднему их процентов. По условию это 60%.
2x+y=60
Среднее двух концентраций.
x+y=120
Умножили на 2.
4Решаем систему подстановкой
Из второго уравнения выражаем y и подставляем в первое.
y=120−x
Процент кислоты во втором растворе через x.
4x+16(120−x)=1140
Подстановка в первое уравнение.
−12x+1920=1140
Раскрываем скобки и собираем слагаемые.
−12x=−780
Переносим постоянное слагаемое вправо.
x=−12−780=65
Получили процент кислоты в первом растворе.
y=120−65=55
Восстанавливаем процент во втором растворе.
5Находим именно массу кислоты
Вопрос относится к первому сосуду. Умножаем массу его раствора на долю кислоты.
4⋅10065=513
Результат выражен в килограммах, а не в процентах.
6Проверяем оба смешивания
Подставляем найденные концентрации в оба условия.
204⋅65+16⋅55=57
Концентрация при смешивании всего содержимого, %.
265+55=60
Концентрация при смешивании равных масс, %.
7Записываем ответ
Найти массу кислоты в первом сосуде.
2,6кг
Указываем найденную величину и её единицы измерения.
Что проверяет эксперт в задании №21
По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года за задание можно получить до 2 баллов. Оцениваются составленная модель, ход решения и ответ.
2 балла
Ход решения верный и получен правильный ответ.
1 балл
Верно составлена математическая модель, но решение не завершено или содержит ошибки. Либо решение в целом верное, но есть несущественные недостатки или вычислительные ошибки.
0 баллов
Решение не отвечает указанным критериям. Одной записи ответа без обоснования недостаточно.
