ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 21 · ФИПИ 209120107 из 190

Средняя скорость на двух равных половинах

Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 69 км/ч, а вторую — со скоростью 111 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 21, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 209120.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №21

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Связная запись: обозначения, уравнение, вычисления и ответ.

№ 21.

Решение.

Пусть $s>0$ км — половина пути. Время движения на половинах: $\dfrac{s}{69}$ ч и $\dfrac{s}{111}$ ч. Средняя скорость:

\displaystyle v_{\text{ср}}

\displaystyle =\frac{2s}{\frac{s}{69}+\frac{s}{111}}

\displaystyle =\frac{2}{\frac{1}{69}+\frac{1}{111}}

\displaystyle \frac{2}{\frac{1}{69}+\frac{1}{111}}

\displaystyle =\frac{2\cdot69\cdot111}{69+111}

\displaystyle =\frac{851}{10}

Ответ: $85{,}1\;\text{км/ч}$ .

На экзамене запишите номер задания, решение и ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим и другой математически верный, обоснованный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти среднюю скорость на всём пути.

Идея решения

Половины пути равны по длине, но времена их прохождения различаются. Обозначим каждую половину через s и сократим s в формуле средней скорости.

Первая половина: 69 км/ч
Вторая половина: 111 км/ч
Расстояния: Равные

Обозначаем половину пути

Пусть $s>0$ км — каждая половина пути. Тогда весь путь равен $2s$ км.

Две равные половины пути. Учебная схема задания ФИПИ 209120. — Части пути равны по расстоянию. Их времена могут различаться.

Находим время двух половин

Одинаковый путь делим на соответствующую скорость.

\frac{s}{69}

Время первой половины, ч.

\frac{s}{111}

Время второй половины, ч.

Составляем формулу средней скорости

В знаменателе складываем оба времени. Выносим s и сокращаем на него, так как s > 0.

v_{\text{ср}}

=\frac{2s}{\frac{s}{69}+\frac{s}{111}}

=\frac{2}{\frac{1}{69}+\frac{1}{111}}

После сокращения результат не зависит от длины маршрута.

Считаем дробь

Приводим дроби в знаменателе к общему знаменателю: произведению скоростей. Деление на дробь заменяем умножением на обратную.

\frac{2}{\frac{1}{69}+\frac{1}{111}}

=\frac{2\cdot69\cdot111}{69+111}

=\frac{851}{10}

Складываем скорости в знаменателе и выполняем деление.

Проверяем соотношение пути и времени

Для проверки можно взять половину пути 7659 км: отношение от масштаба пути не зависит.

\frac{7659}{69}

+\frac{7659}{111}

=180

Время такого маршрута, ч.

\frac{15318}{180}

=\frac{851}{10}

Получили ту же среднюю скорость.

Результат лежит между 69 и 111 км/ч.

Записываем ответ

Найти среднюю скорость на всём пути.

85{,}1\;\text{км/ч}

Указываем найденную величину и её единицы измерения.

Что проверяет эксперт в задании №21

По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года за задание можно получить до 2 баллов. Оцениваются составленная модель, ход решения и ответ.

2 балла: Ход решения верный и получен правильный ответ.
1 балл: Верно составлена математическая модель, но решение не завершено или содержит ошибки. Либо решение в целом верное, но есть несущественные недостатки или вычислительные ошибки.
0 баллов: Решение не отвечает указанным критериям. Одной записи ответа без обоснования недостаточно.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 и методические материалы для экспертов 2026. Образец записи и подробное объяснение подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Пояснено, что обозначает неизвестное, и учтены ограничения по смыслу задачи.Уравнение или расчёт соответствует исходному условию; существенные вычисления показаны.Выбран подходящий результат, проверены исходные данные и записан ответ на вопрос задачи.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены уравнения, ограничения, вычисления и соответствие ответа исходному условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Запишите весь путь.
Найдите время каждого участка по формуле путь / скорость.
Сложите времена.
Разделите весь путь на всё время.
Проверьте, что результат находится между скоростями участков.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Средняя скорость: $v_{\text{ср}}=\dfrac{s_{\text{весь}}}{t_{\text{всё}}}$ .
Время участка: $t=\dfrac{s}{v}$ .
Среднее арифметическое скоростей применимо для равных времён, а не для любых участков.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Просто сложить скорости и разделить на число участков.
Забыть один из участков или его время.
Перепутать равные расстояния с равными временами.

Все задания №21 (190)