Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 21 · ФИПИ 643ADE118 из 190

Плот и лодка: отправление с задержкой

Расстояние между пристанями А и В равно 126 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А.
К этому времени плот проплыл 36 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 21, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 643ADE.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №21

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Связная запись: обозначения, уравнение, вычисления и ответ.

№ 21.

Решение.

Пусть xx км/ч — собственная скорость лодки, x>4x>4. Тогда по течению скорость x+4x+4 км/ч, против — x−4x-4 км/ч.

Плот двигался 364\dfrac{36}{4} ч. Лодка вышла на час позже, поэтому время её движения:

364−1\displaystyle \frac{36}{4}-1=8\displaystyle =8

Получаем уравнение:

126x+4+126x−4\displaystyle \frac{126}{x+4}+\frac{126}{x-4}=8\displaystyle =8
126(x−4)+126(x+4)\displaystyle 126(x-4)+126(x+4)=8(x2−16)\displaystyle =8(x^2-16)
252x\displaystyle 252 x=8x2−128\displaystyle =8 x^{2} - 128
2x2−63x−32\displaystyle 2 x^{2} - 63 x - 32=0\displaystyle =0
D\displaystyle D=(−63)2−4⋅2⋅(−32)\displaystyle =(-63)^2-4\cdot2\cdot(-32)=4225\displaystyle =4225
x1\displaystyle x_1=63−654\displaystyle =\frac{63-65}{4}=−12\displaystyle =- \frac{1}{2}
x2\displaystyle x_2=63+654\displaystyle =\frac{63+65}{4}=32\displaystyle =32

По смыслу задачи x>4x>4. Значение x=−12x=- \dfrac{1}{2} не подходит. Следовательно, x=32x=32.

Ответ: 32  км/ч32\;\text{км/ч}.

На экзамене запишите номер задания, решение и ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим и другой математически верный, обоснованный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти скорость моторной лодки в неподвижной воде.

Идея решения

Вычислим время движения плота и вычтем час задержки. Это время лодки на два участка: по течению и против течения.

Между пристанями
126 км
Путь плота к возвращению лодки
36 км
Скорость течения
4 км/ч
Задержка старта лодки
1 ч

Находим время движения лодки

Плот движется со скоростью течения 4 км/ч. Лодка вышла на час позже, а завершила путь в момент, когда плот прошёл 36 км.

364\frac{36}{4}=9=9

Время движения плота, ч.

364\frac{36}{4}−1-1=8=8

Время лодки на путь туда и обратно, ч.

Движение по реке

Движение по реке. Учебная схема задания ФИПИ 643ADE.
Обозначения на чертеже
  • x — собственная скорость судна.
  • По течению скорости складываются.
  • Против течения скорость течения вычитается.
Учебная схема условная: длины и положение объектов не задают масштаб.
Открыть схему крупнее ↗

Вводим неизвестную скорость

Пусть xx км/ч — собственная скорость лодки, x>4x>4. Тогда по течению скорость x+4x+4 км/ч, против — x−4x-4 км/ч.

Записываем время каждого участка

Используем формулу времени: путь делим на скорость относительно берега.

126x+4\frac{126}{x+4}

Время по течению, ч.

126x−4\frac{126}{x-4}

Время против течения, ч.

Составляем уравнение по условию

Вычислим время движения плота и вычтем час задержки. Это время лодки на два участка: по течению и против течения.

126x+4\frac{126}{x+4}+126x−4+\frac{126}{x-4}=8=8

Уравнение связывает времена из условия.

126(x−4)126(x-4)+126(x+4)+126(x+4)=8(x2−16)=8(x^2-16)

Умножаем на общий знаменатель; он положителен при выбранных ограничениях.

252x252 x=8x2=8 x^{2} −128- 128

Раскрываем скобки и собираем подобные слагаемые.

Решаем квадратное уравнение

Используем формулу корней x=−b±D2ax=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}, где D=b2−4acD=b^2-4ac.

2x22 x^{2} −63x- 63 x −32- 32=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=2,b=2,\quad b=−63,c=-63,\quad c=−32=-32

Коэффициенты записываем вместе со знаками.

DD=(−63)2=(-63)^2−4-4⋅2\cdot2⋅(−32)\cdot(-32)=4225=4225

Вычисляем дискриминант.

D\sqrt{D}=65=65

Извлекаем арифметический квадратный корень.

x1x_1=63−654=\frac{63-65}{4}=−12=- \frac{1}{2}

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

x2x_2=63+654=\frac{63+65}{4}=32=32

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

Выбираем подходящую скорость

По смыслу задачи x>4x>4. Значение x=−12x=- \dfrac{1}{2} не подходит. Следовательно, x=32x=32.

Проверяем путь и время

Подставляем найденную скорость в исходные данные.

12636\frac{126}{36}=72=\frac{7}{2}

Время по течению.

12628\frac{126}{28}=92=\frac{9}{2}

Время против течения.

11+72+\frac{7}{2}+92+\frac{9}{2}=9=9

Плот двигался на час дольше лодки.

4(72+92+1)4(\frac{7}{2}+\frac{9}{2}+1)=36=36

За это время плот прошёл расстояние из условия.

Записываем ответ

Найти скорость моторной лодки в неподвижной воде.

32  км/ч32\;\text{км/ч}

Указываем найденную величину и её единицы измерения.

Что проверяет эксперт в задании №21

По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года за задание можно получить до 2 баллов. Оцениваются составленная модель, ход решения и ответ.

2 балла
Ход решения верный и получен правильный ответ.
1 балл
Верно составлена математическая модель, но решение не завершено или содержит ошибки. Либо решение в целом верное, но есть несущественные недостатки или вычислительные ошибки.
0 баллов
Решение не отвечает указанным критериям. Одной записи ответа без обоснования недостаточно.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 и методические материалы для экспертов 2026. Образец записи и подробное объяснение подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены уравнения, ограничения, вычисления и соответствие ответа исходному условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Обозначьте неизвестную скорость и запишите её допустимые значения.
  2. Выразите скорости и времена для каждого участка пути.
  3. Свяжите времена с помощью условия задачи и составьте уравнение.
  4. Покажите преобразования, решите уравнение и отберите допустимый корень.
  5. Проверьте исходное условие и ответьте именно на вопрос задачи.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • При равномерном движении s=vts=vt, поэтому t=svt=\dfrac{s}{v}.
  • При одинаковом пути большая скорость означает меньшее время.
  • Скорость по течению равна v+cv+c, против течения — v−cv-c.
  • Все величины в одном уравнении должны быть в согласованных единицах измерения.
  • Скорость плота равна скорости течения.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Перепутать скорость по течению со скоростью против течения.
  • Сложить времена там, где по условию нужна разность, или наоборот.
  • Учесть стоянку или задержку со знаком, не соответствующим условию.
  • Оставить корень, который нарушает ограничения скорости.
Все задания №21 (190)