Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 21 · ФИПИ DE784F55 из 190

Баржа: разные пути по течению и против

Баржа прошла по течению реки 32 км и, повернув обратно, прошла ещё 24 км, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 21, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание DE784F.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №21

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Связная запись: обозначения, уравнение, вычисления и ответ.

№ 21.

Решение.

Пусть xx км/ч — собственная скорость баржи, x>5x>5. Тогда по течению скорость x+5x+5 км/ч, против — x−5x-5 км/ч.

Получаем уравнение:

32x+5+24x−5\displaystyle \frac{32}{x+5}+\frac{24}{x-5}=4\displaystyle =4
32(x−5)+24(x+5)\displaystyle 32(x-5)+24(x+5)=4(x2−25)\displaystyle =4(x^2-25)
56x−40\displaystyle 56 x - 40=4x2−100\displaystyle =4 x^{2} - 100
x2−14x−15\displaystyle x^{2} - 14 x - 15=0\displaystyle =0
D\displaystyle D=(−14)2−4⋅1⋅(−15)\displaystyle =(-14)^2-4\cdot1\cdot(-15)=256\displaystyle =256
x1\displaystyle x_1=14−162\displaystyle =\frac{14-16}{2}=−1\displaystyle =-1
x2\displaystyle x_2=14+162\displaystyle =\frac{14+16}{2}=15\displaystyle =15

По смыслу задачи x>5x>5. Значение x=−1x=-1 не подходит. Следовательно, x=15x=15.

Ответ: 15  км/ч15\;\text{км/ч}.

На экзамене запишите номер задания, решение и ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим и другой математически верный, обоснованный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти собственную скорость баржи.

Идея решения

Выразим время каждого участка через собственную скорость баржи. Сумма этих времён равна всему времени пути.

Путь по течению
32 км
Путь против течения
24 км
Общее время
4 ч
Скорость течения
5 км/ч

Вводим неизвестную скорость

Пусть xx км/ч — собственная скорость баржи, x>5x>5. Тогда по течению скорость x+5x+5 км/ч, против — x−5x-5 км/ч.

Движение по реке

Движение по реке. Учебная схема задания ФИПИ DE784F.
Обозначения на чертеже
  • x — собственная скорость судна.
  • По течению скорости складываются.
  • Против течения скорость течения вычитается.
Учебная схема условная: длины и положение объектов не задают масштаб.
Открыть схему крупнее ↗

Записываем время каждого участка

Используем формулу времени: путь делим на скорость относительно берега.

32x+5\frac{32}{x+5}

Время по течению, ч.

24x−5\frac{24}{x-5}

Время против течения, ч.

Составляем уравнение по условию

Выразим время каждого участка через собственную скорость баржи. Сумма этих времён равна всему времени пути.

32x+5\frac{32}{x+5}+24x−5+\frac{24}{x-5}=4=4

Уравнение связывает времена из условия.

32(x−5)32(x-5)+24(x+5)+24(x+5)=4(x2−25)=4(x^2-25)

Умножаем на общий знаменатель; он положителен при выбранных ограничениях.

56x56 x −40- 40=4x2=4 x^{2} −100- 100

Раскрываем скобки и собираем подобные слагаемые.

Решаем квадратное уравнение

Используем формулу корней x=−b±D2ax=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}, где D=b2−4acD=b^2-4ac.

x2x^{2} −14x- 14 x −15- 15=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=1,b=1,\quad b=−14,c=-14,\quad c=−15=-15

Коэффициенты записываем вместе со знаками.

DD=(−14)2=(-14)^2−4-4⋅1\cdot1⋅(−15)\cdot(-15)=256=256

Вычисляем дискриминант.

D\sqrt{D}=16=16

Извлекаем арифметический квадратный корень.

x1x_1=14−162=\frac{14-16}{2}=−1=-1

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

x2x_2=14+162=\frac{14+16}{2}=15=15

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

Выбираем подходящую скорость

По смыслу задачи x>5x>5. Значение x=−1x=-1 не подходит. Следовательно, x=15x=15.

Проверяем путь и время

Подставляем найденную скорость в исходные данные.

3220\frac{32}{20}=85=\frac{8}{5}

Время по течению.

2410\frac{24}{10}=125=\frac{12}{5}

Время против течения.

85\frac{8}{5}+125+\frac{12}{5}=4=4

Суммарное время совпадает с условием.

Записываем ответ

Найти собственную скорость баржи.

15  км/ч15\;\text{км/ч}

Указываем найденную величину и её единицы измерения.

Что проверяет эксперт в задании №21

По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года за задание можно получить до 2 баллов. Оцениваются составленная модель, ход решения и ответ.

2 балла
Ход решения верный и получен правильный ответ.
1 балл
Верно составлена математическая модель, но решение не завершено или содержит ошибки. Либо решение в целом верное, но есть несущественные недостатки или вычислительные ошибки.
0 баллов
Решение не отвечает указанным критериям. Одной записи ответа без обоснования недостаточно.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 и методические материалы для экспертов 2026. Образец записи и подробное объяснение подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены уравнения, ограничения, вычисления и соответствие ответа исходному условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Обозначьте неизвестную скорость и запишите её допустимые значения.
  2. Выразите скорости и времена для каждого участка пути.
  3. Свяжите времена с помощью условия задачи и составьте уравнение.
  4. Покажите преобразования, решите уравнение и отберите допустимый корень.
  5. Проверьте исходное условие и ответьте именно на вопрос задачи.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • При равномерном движении s=vts=vt, поэтому t=svt=\dfrac{s}{v}.
  • При одинаковом пути большая скорость означает меньшее время.
  • Скорость по течению равна v+cv+c, против течения — v−cv-c.
  • Все величины в одном уравнении должны быть в согласованных единицах измерения.
  • Собственная скорость судна должна быть больше скорости течения.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Перепутать скорость по течению со скоростью против течения.
  • Сложить времена там, где по условию нужна разность, или наоборот.
  • Считать, что равные расстояния означают равные времена.
  • Оставить корень, который нарушает ограничения скорости.
Все задания №21 (190)