Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 21 · ФИПИ 730F58121 из 190

Теплоход со стоянкой: собственная скорость

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 210 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода
в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится
9 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 27 часов после отплытия из него.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 21, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 730F58.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №21

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Связная запись: обозначения, уравнение, вычисления и ответ.

№ 21.

Решение.

Пусть xx км/ч — собственная скорость теплохода, x>4x>4. Тогда по течению скорость x+4x+4 км/ч, против — x−4x-4 км/ч.

Время движения без стоянки:

27−9\displaystyle 27-9=18\displaystyle =18

Получаем уравнение:

210x+4+210x−4\displaystyle \frac{210}{x+4}+\frac{210}{x-4}=18\displaystyle =18
210(x−4)+210(x+4)\displaystyle 210(x-4)+210(x+4)=18(x2−16)\displaystyle =18(x^2-16)
420x\displaystyle 420 x=18x2−288\displaystyle =18 x^{2} - 288
3x2−70x−48\displaystyle 3 x^{2} - 70 x - 48=0\displaystyle =0
D\displaystyle D=(−70)2−4⋅3⋅(−48)\displaystyle =(-70)^2-4\cdot3\cdot(-48)=5476\displaystyle =5476
x1\displaystyle x_1=70−746\displaystyle =\frac{70-74}{6}=−23\displaystyle =- \frac{2}{3}
x2\displaystyle x_2=70+746\displaystyle =\frac{70+74}{6}=24\displaystyle =24

По смыслу задачи x>4x>4. Значение x=−23x=- \dfrac{2}{3} не подходит. Следовательно, x=24x=24.

Ответ: 24  км/ч24\;\text{км/ч}.

На экзамене запишите номер задания, решение и ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим и другой математически верный, обоснованный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти скорость теплохода в неподвижной воде.

Идея решения

Сначала исключим стоянку, затем сложим времена движения по течению и против течения.

Путь в каждую сторону
210 км
Скорость течения
4 км/ч
Стоянка
9 ч
Общее время
27 ч

Отделяем движение от стоянки

Теплоход отсутствовал 27 ч, из них 9 ч стоял.

2727−9-9=18=18

Это сумма времён движения в обе стороны.

Движение по реке

Движение по реке. Учебная схема задания ФИПИ 730F58.
Обозначения на чертеже
  • x — собственная скорость судна.
  • По течению скорости складываются.
  • Против течения скорость течения вычитается.
Учебная схема условная: длины и положение объектов не задают масштаб.
Открыть схему крупнее ↗

Вводим неизвестную скорость

Пусть xx км/ч — собственная скорость теплохода, x>4x>4. Тогда по течению скорость x+4x+4 км/ч, против — x−4x-4 км/ч.

Записываем время каждого участка

Используем формулу времени: путь делим на скорость относительно берега.

210x+4\frac{210}{x+4}

Время по течению, ч.

210x−4\frac{210}{x-4}

Время против течения, ч.

Составляем уравнение по условию

Сначала исключим стоянку, затем сложим времена движения по течению и против течения.

210x+4\frac{210}{x+4}+210x−4+\frac{210}{x-4}=18=18

Уравнение связывает времена из условия.

210(x−4)210(x-4)+210(x+4)+210(x+4)=18(x2−16)=18(x^2-16)

Умножаем на общий знаменатель; он положителен при выбранных ограничениях.

420x420 x=18x2=18 x^{2} −288- 288

Раскрываем скобки и собираем подобные слагаемые.

Решаем квадратное уравнение

Используем формулу корней x=−b±D2ax=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}, где D=b2−4acD=b^2-4ac.

3x23 x^{2} −70x- 70 x −48- 48=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=3,b=3,\quad b=−70,c=-70,\quad c=−48=-48

Коэффициенты записываем вместе со знаками.

DD=(−70)2=(-70)^2−4-4⋅3\cdot3⋅(−48)\cdot(-48)=5476=5476

Вычисляем дискриминант.

D\sqrt{D}=74=74

Извлекаем арифметический квадратный корень.

x1x_1=70−746=\frac{70-74}{6}=−23=- \frac{2}{3}

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

x2x_2=70+746=\frac{70+74}{6}=24=24

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

Выбираем подходящую скорость

По смыслу задачи x>4x>4. Значение x=−23x=- \dfrac{2}{3} не подходит. Следовательно, x=24x=24.

Проверяем путь и время

Подставляем найденную скорость в исходные данные.

21028\frac{210}{28}=152=\frac{15}{2}

Время по течению.

21020\frac{210}{20}=212=\frac{21}{2}

Время против течения.

152\frac{15}{2}+212+\frac{21}{2}+9+9=27=27

Вместе со стоянкой получаем общее время.

Записываем ответ

Найти скорость теплохода в неподвижной воде.

24  км/ч24\;\text{км/ч}

Указываем найденную величину и её единицы измерения.

Что проверяет эксперт в задании №21

По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года за задание можно получить до 2 баллов. Оцениваются составленная модель, ход решения и ответ.

2 балла
Ход решения верный и получен правильный ответ.
1 балл
Верно составлена математическая модель, но решение не завершено или содержит ошибки. Либо решение в целом верное, но есть несущественные недостатки или вычислительные ошибки.
0 баллов
Решение не отвечает указанным критериям. Одной записи ответа без обоснования недостаточно.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 и методические материалы для экспертов 2026. Образец записи и подробное объяснение подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены уравнения, ограничения, вычисления и соответствие ответа исходному условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Обозначьте неизвестную скорость и запишите её допустимые значения.
  2. Выразите скорости и времена для каждого участка пути.
  3. Свяжите времена с помощью условия задачи и составьте уравнение.
  4. Покажите преобразования, решите уравнение и отберите допустимый корень.
  5. Проверьте исходное условие и ответьте именно на вопрос задачи.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • При равномерном движении s=vts=vt, поэтому t=svt=\dfrac{s}{v}.
  • При одинаковом пути большая скорость означает меньшее время.
  • Скорость по течению равна v+cv+c, против течения — v−cv-c.
  • Все величины в одном уравнении должны быть в согласованных единицах измерения.
  • Время стоянки не включают во время движения.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Перепутать скорость по течению со скоростью против течения.
  • Сложить времена там, где по условию нужна разность, или наоборот.
  • Учесть стоянку или задержку со знаком, не соответствующим условию.
  • Оставить корень, который нарушает ограничения скорости.
Все задания №21 (190)