Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 21 · ФИПИ F0B92B21 из 190

Два велосипедиста: скорость второго

Два велосипедиста одновременно отправляются в 209-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 8 км/ч большей, чем второй, и прибывает
к финишу на 8 часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 21, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание F0B92B.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №21

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Связная запись: обозначения, уравнение, вычисления и ответ.

№ 21.

Решение.

Пусть xx км/ч — скорость второго велосипедиста, x>0x>0. Тогда скорость первого велосипедиста равна x+8x+8 км/ч.

По условию получаем уравнение:

209x−209x+8\displaystyle \frac{209}{x}-\frac{209}{x+8}=8\displaystyle =8
209(x+8)−209x\displaystyle 209(x+8)-209x=8x(x+8)\displaystyle =8x(x+8)
1672\displaystyle 1672=8x2+64x\displaystyle =8x^2+64x
x2+8x−209\displaystyle x^{2} + 8 x - 209=0\displaystyle =0
D\displaystyle D=82−4⋅1⋅(−209)\displaystyle =8^2-4\cdot1\cdot(-209)=900\displaystyle =900
x1\displaystyle x_1=−8−302\displaystyle =\frac{-8-30}{2}=−19\displaystyle =-19
x2\displaystyle x_2=−8+302\displaystyle =\frac{-8+30}{2}=11\displaystyle =11

По смыслу задачи x>0x>0. Значение x=−19x=-19 не подходит. Следовательно, x=11x=11.

Ответ: 11  км/ч11\;\text{км/ч}.

На экзамене запишите номер задания, решение и ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим и другой математически верный, обоснованный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти скорость второго велосипедиста.

Идея решения

Оба участника преодолевают по 209 км. Тот, чья скорость больше, тратит на 8 ч меньше.

Расстояние
209 км
Разница скоростей
8 км/ч
Разница времени
8 ч

Выбираем неизвестное

Пусть xx км/ч — скорость второго велосипедиста, x>0x>0. Тогда скорость первого велосипедиста равна x+8x+8 км/ч.

Одинаковый путь — два времени

Одинаковый путь — два времени. Учебная схема задания ФИПИ F0B92B.
Обозначения на чертеже
  • x — меньшая скорость.
  • При одинаковом объёме пути большее время соответствует меньшей скорости.
Учебная схема условная: длины и положение объектов не задают масштаб.
Открыть схему крупнее ↗

Выражаем время

Время равно пути, делённому на скорость.

209x\frac{209}{x}

Время второго велосипедиста, ч.

209x+8\frac{209}{x+8}

Время первого велосипедиста, ч.

Оба участника преодолевают по 209 км. Тот, чья скорость больше, тратит на 8 ч меньше.

Составляем и преобразуем уравнение

Оба участника преодолевают по 209 км. Тот, чья скорость больше, тратит на 8 ч меньше.

209x\frac{209}{x}−209x+8-\frac{209}{x+8}=8=8

Из большего времени вычитаем меньшее.

209(x+8)209(x+8)−209x-209x=8x(x+8)=8x(x+8)

Умножаем обе части на положительный общий знаменатель x(x+8).

16721672=8x2=8x^2+64x+64x

Раскрываем скобки и сокращаем одинаковые слагаемые.

Решаем квадратное уравнение

Используем формулу корней x=−b±D2ax=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}, где D=b2−4acD=b^2-4ac.

x2x^{2} +8x+ 8 x −209- 209=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=1,b=1,\quad b=8,c=8,\quad c=−209=-209

Коэффициенты записываем вместе со знаками.

DD=82=8^2−4-4⋅1\cdot1⋅(−209)\cdot(-209)=900=900

Вычисляем дискриминант.

D\sqrt{D}=30=30

Извлекаем арифметический квадратный корень.

x1x_1=−8−302=\frac{-8-30}{2}=−19=-19

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

x2x_2=−8+302=\frac{-8+30}{2}=11=11

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

Отбираем корень и отвечаем на вопрос

По смыслу задачи x>0x>0. Значение x=−19x=-19 не подходит. Следовательно, x=11x=11.

Полученное x уже является искомой величиной.

Проверяем исходное условие

Вычислим оба времени с найденными значениями.

20911\frac{209}{11}=19=19

Время второго велосипедиста, ч.

20919\frac{209}{19}=11=11

Время первого велосипедиста, ч.

1919−11-11=8=8

Разность времён равна 8 ч, как в условии.

Записываем ответ

Найти скорость второго велосипедиста.

11  км/ч11\;\text{км/ч}

Указываем найденную величину и её единицы измерения.

Что проверяет эксперт в задании №21

По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года за задание можно получить до 2 баллов. Оцениваются составленная модель, ход решения и ответ.

2 балла
Ход решения верный и получен правильный ответ.
1 балл
Верно составлена математическая модель, но решение не завершено или содержит ошибки. Либо решение в целом верное, но есть несущественные недостатки или вычислительные ошибки.
0 баллов
Решение не отвечает указанным критериям. Одной записи ответа без обоснования недостаточно.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 и методические материалы для экспертов 2026. Образец записи и подробное объяснение подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены уравнения, ограничения, вычисления и соответствие ответа исходному условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Обозначьте неизвестную скорость и запишите её допустимые значения.
  2. Выразите скорости и времена для каждого участка пути.
  3. Свяжите времена с помощью условия задачи и составьте уравнение.
  4. Покажите преобразования, решите уравнение и отберите допустимый корень.
  5. Проверьте исходное условие и ответьте именно на вопрос задачи.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • При равномерном движении s=vts=vt, поэтому t=svt=\dfrac{s}{v}.
  • При одинаковом пути большая скорость означает меньшее время.
  • Если x>0x>0 и d>0d>0, то x(x+d)>0x(x+d)>0, поэтому общий знаменатель не равен нулю.
  • Для квадратного уравнения ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0: D=b2−4acD=b^2-4ac.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Перепутать, чья скорость обозначена через x.
  • Вычесть большее время из меньшего и приравнять результат положительному числу 8.
  • Принять отрицательный корень.
  • Найти x и забыть ответить на вопрос об искомой величине.
Все задания №21 (190)