Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 21 · ФИПИ 56F16C170 из 190

Плот и лодка: отправление с задержкой

Расстояние между пристанями А и В равно 108 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А.
К этому времени плот проплыл 50 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 21, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 56F16C.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №21

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Связная запись: обозначения, уравнение, вычисления и ответ.

№ 21.

Решение.

Пусть xx км/ч — собственная скорость лодки, x>5x>5. Тогда по течению скорость x+5x+5 км/ч, против — x−5x-5 км/ч.

Плот двигался 505\dfrac{50}{5} ч. Лодка вышла на час позже, поэтому время её движения:

505−1\displaystyle \frac{50}{5}-1=9\displaystyle =9

Получаем уравнение:

108x+5+108x−5\displaystyle \frac{108}{x+5}+\frac{108}{x-5}=9\displaystyle =9
108(x−5)+108(x+5)\displaystyle 108(x-5)+108(x+5)=9(x2−25)\displaystyle =9(x^2-25)
216x\displaystyle 216 x=9x2−225\displaystyle =9 x^{2} - 225
x2−24x−25\displaystyle x^{2} - 24 x - 25=0\displaystyle =0
D\displaystyle D=(−24)2−4⋅1⋅(−25)\displaystyle =(-24)^2-4\cdot1\cdot(-25)=676\displaystyle =676
x1\displaystyle x_1=24−262\displaystyle =\frac{24-26}{2}=−1\displaystyle =-1
x2\displaystyle x_2=24+262\displaystyle =\frac{24+26}{2}=25\displaystyle =25

По смыслу задачи x>5x>5. Значение x=−1x=-1 не подходит. Следовательно, x=25x=25.

Ответ: 25  км/ч25\;\text{км/ч}.

На экзамене запишите номер задания, решение и ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим и другой математически верный, обоснованный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти скорость моторной лодки в неподвижной воде.

Идея решения

Вычислим время движения плота и вычтем час задержки. Это время лодки на два участка: по течению и против течения.

Между пристанями
108 км
Путь плота к возвращению лодки
50 км
Скорость течения
5 км/ч
Задержка старта лодки
1 ч

Находим время движения лодки

Плот движется со скоростью течения 5 км/ч. Лодка вышла на час позже, а завершила путь в момент, когда плот прошёл 50 км.

505\frac{50}{5}=10=10

Время движения плота, ч.

505\frac{50}{5}−1-1=9=9

Время лодки на путь туда и обратно, ч.

Движение по реке

Движение по реке. Учебная схема задания ФИПИ 56F16C.
Обозначения на чертеже
  • x — собственная скорость судна.
  • По течению скорости складываются.
  • Против течения скорость течения вычитается.
Учебная схема условная: длины и положение объектов не задают масштаб.
Открыть схему крупнее ↗

Вводим неизвестную скорость

Пусть xx км/ч — собственная скорость лодки, x>5x>5. Тогда по течению скорость x+5x+5 км/ч, против — x−5x-5 км/ч.

Записываем время каждого участка

Используем формулу времени: путь делим на скорость относительно берега.

108x+5\frac{108}{x+5}

Время по течению, ч.

108x−5\frac{108}{x-5}

Время против течения, ч.

Составляем уравнение по условию

Вычислим время движения плота и вычтем час задержки. Это время лодки на два участка: по течению и против течения.

108x+5\frac{108}{x+5}+108x−5+\frac{108}{x-5}=9=9

Уравнение связывает времена из условия.

108(x−5)108(x-5)+108(x+5)+108(x+5)=9(x2−25)=9(x^2-25)

Умножаем на общий знаменатель; он положителен при выбранных ограничениях.

216x216 x=9x2=9 x^{2} −225- 225

Раскрываем скобки и собираем подобные слагаемые.

Решаем квадратное уравнение

Используем формулу корней x=−b±D2ax=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}, где D=b2−4acD=b^2-4ac.

x2x^{2} −24x- 24 x −25- 25=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=1,b=1,\quad b=−24,c=-24,\quad c=−25=-25

Коэффициенты записываем вместе со знаками.

DD=(−24)2=(-24)^2−4-4⋅1\cdot1⋅(−25)\cdot(-25)=676=676

Вычисляем дискриминант.

D\sqrt{D}=26=26

Извлекаем арифметический квадратный корень.

x1x_1=24−262=\frac{24-26}{2}=−1=-1

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

x2x_2=24+262=\frac{24+26}{2}=25=25

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

Выбираем подходящую скорость

По смыслу задачи x>5x>5. Значение x=−1x=-1 не подходит. Следовательно, x=25x=25.

Проверяем путь и время

Подставляем найденную скорость в исходные данные.

10830\frac{108}{30}=185=\frac{18}{5}

Время по течению.

10820\frac{108}{20}=275=\frac{27}{5}

Время против течения.

11+185+\frac{18}{5}+275+\frac{27}{5}=10=10

Плот двигался на час дольше лодки.

5(185+275+1)5(\frac{18}{5}+\frac{27}{5}+1)=50=50

За это время плот прошёл расстояние из условия.

Записываем ответ

Найти скорость моторной лодки в неподвижной воде.

25  км/ч25\;\text{км/ч}

Указываем найденную величину и её единицы измерения.

Что проверяет эксперт в задании №21

По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года за задание можно получить до 2 баллов. Оцениваются составленная модель, ход решения и ответ.

2 балла
Ход решения верный и получен правильный ответ.
1 балл
Верно составлена математическая модель, но решение не завершено или содержит ошибки. Либо решение в целом верное, но есть несущественные недостатки или вычислительные ошибки.
0 баллов
Решение не отвечает указанным критериям. Одной записи ответа без обоснования недостаточно.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 и методические материалы для экспертов 2026. Образец записи и подробное объяснение подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены уравнения, ограничения, вычисления и соответствие ответа исходному условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Обозначьте неизвестную скорость и запишите её допустимые значения.
  2. Выразите скорости и времена для каждого участка пути.
  3. Свяжите времена с помощью условия задачи и составьте уравнение.
  4. Покажите преобразования, решите уравнение и отберите допустимый корень.
  5. Проверьте исходное условие и ответьте именно на вопрос задачи.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • При равномерном движении s=vts=vt, поэтому t=svt=\dfrac{s}{v}.
  • При одинаковом пути большая скорость означает меньшее время.
  • Скорость по течению равна v+cv+c, против течения — v−cv-c.
  • Все величины в одном уравнении должны быть в согласованных единицах измерения.
  • Скорость плота равна скорости течения.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Перепутать скорость по течению со скоростью против течения.
  • Сложить времена там, где по условию нужна разность, или наоборот.
  • Учесть стоянку или задержку со знаком, не соответствующим условию.
  • Оставить корень, который нарушает ограничения скорости.
Все задания №21 (190)