Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 21 · ФИПИ 409469164 из 190

Два велосипедиста: скорость второго

Два велосипедиста одновременно отправляются в 140-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 14 км/ч большей, чем второй, и прибывает
к финишу на 5 часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 21, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 409469.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №21

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Связная запись: обозначения, уравнение, вычисления и ответ.

№ 21.

Решение.

Пусть xx км/ч — скорость второго велосипедиста, x>0x>0. Тогда скорость первого велосипедиста равна x+14x+14 км/ч.

По условию получаем уравнение:

140x−140x+14\displaystyle \frac{140}{x}-\frac{140}{x+14}=5\displaystyle =5
140(x+14)−140x\displaystyle 140(x+14)-140x=5x(x+14)\displaystyle =5x(x+14)
1960\displaystyle 1960=5x2+70x\displaystyle =5x^2+70x
x2+14x−392\displaystyle x^{2} + 14 x - 392=0\displaystyle =0
D\displaystyle D=142−4⋅1⋅(−392)\displaystyle =14^2-4\cdot1\cdot(-392)=1764\displaystyle =1764
x1\displaystyle x_1=−14−422\displaystyle =\frac{-14-42}{2}=−28\displaystyle =-28
x2\displaystyle x_2=−14+422\displaystyle =\frac{-14+42}{2}=14\displaystyle =14

По смыслу задачи x>0x>0. Значение x=−28x=-28 не подходит. Следовательно, x=14x=14.

Ответ: 14  км/ч14\;\text{км/ч}.

На экзамене запишите номер задания, решение и ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим и другой математически верный, обоснованный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти скорость второго велосипедиста.

Идея решения

Оба участника преодолевают по 140 км. Тот, чья скорость больше, тратит на 5 ч меньше.

Расстояние
140 км
Разница скоростей
14 км/ч
Разница времени
5 ч

Выбираем неизвестное

Пусть xx км/ч — скорость второго велосипедиста, x>0x>0. Тогда скорость первого велосипедиста равна x+14x+14 км/ч.

Одинаковый путь — два времени

Одинаковый путь — два времени. Учебная схема задания ФИПИ 409469.
Обозначения на чертеже
  • x — меньшая скорость.
  • При одинаковом объёме пути большее время соответствует меньшей скорости.
Учебная схема условная: длины и положение объектов не задают масштаб.
Открыть схему крупнее ↗

Выражаем время

Время равно пути, делённому на скорость.

140x\frac{140}{x}

Время второго велосипедиста, ч.

140x+14\frac{140}{x+14}

Время первого велосипедиста, ч.

Оба участника преодолевают по 140 км. Тот, чья скорость больше, тратит на 5 ч меньше.

Составляем и преобразуем уравнение

Оба участника преодолевают по 140 км. Тот, чья скорость больше, тратит на 5 ч меньше.

140x\frac{140}{x}−140x+14-\frac{140}{x+14}=5=5

Из большего времени вычитаем меньшее.

140(x+14)140(x+14)−140x-140x=5x(x+14)=5x(x+14)

Умножаем обе части на положительный общий знаменатель x(x+14).

19601960=5x2=5x^2+70x+70x

Раскрываем скобки и сокращаем одинаковые слагаемые.

Решаем квадратное уравнение

Используем формулу корней x=−b±D2ax=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}, где D=b2−4acD=b^2-4ac.

x2x^{2} +14x+ 14 x −392- 392=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=1,b=1,\quad b=14,c=14,\quad c=−392=-392

Коэффициенты записываем вместе со знаками.

DD=142=14^2−4-4⋅1\cdot1⋅(−392)\cdot(-392)=1764=1764

Вычисляем дискриминант.

D\sqrt{D}=42=42

Извлекаем арифметический квадратный корень.

x1x_1=−14−422=\frac{-14-42}{2}=−28=-28

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

x2x_2=−14+422=\frac{-14+42}{2}=14=14

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

Отбираем корень и отвечаем на вопрос

По смыслу задачи x>0x>0. Значение x=−28x=-28 не подходит. Следовательно, x=14x=14.

Полученное x уже является искомой величиной.

Проверяем исходное условие

Вычислим оба времени с найденными значениями.

14014\frac{140}{14}=10=10

Время второго велосипедиста, ч.

14028\frac{140}{28}=5=5

Время первого велосипедиста, ч.

1010−5-5=5=5

Разность времён равна 5 ч, как в условии.

Записываем ответ

Найти скорость второго велосипедиста.

14  км/ч14\;\text{км/ч}

Указываем найденную величину и её единицы измерения.

Что проверяет эксперт в задании №21

По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года за задание можно получить до 2 баллов. Оцениваются составленная модель, ход решения и ответ.

2 балла
Ход решения верный и получен правильный ответ.
1 балл
Верно составлена математическая модель, но решение не завершено или содержит ошибки. Либо решение в целом верное, но есть несущественные недостатки или вычислительные ошибки.
0 баллов
Решение не отвечает указанным критериям. Одной записи ответа без обоснования недостаточно.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 и методические материалы для экспертов 2026. Образец записи и подробное объяснение подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены уравнения, ограничения, вычисления и соответствие ответа исходному условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Обозначьте неизвестную скорость и запишите её допустимые значения.
  2. Выразите скорости и времена для каждого участка пути.
  3. Свяжите времена с помощью условия задачи и составьте уравнение.
  4. Покажите преобразования, решите уравнение и отберите допустимый корень.
  5. Проверьте исходное условие и ответьте именно на вопрос задачи.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • При равномерном движении s=vts=vt, поэтому t=svt=\dfrac{s}{v}.
  • При одинаковом пути большая скорость означает меньшее время.
  • Если x>0x>0 и d>0d>0, то x(x+d)>0x(x+d)>0, поэтому общий знаменатель не равен нулю.
  • Для квадратного уравнения ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0: D=b2−4acD=b^2-4ac.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Перепутать, чья скорость обозначена через x.
  • Вычесть большее время из меньшего и приравнять результат положительному числу 5.
  • Принять отрицательный корень.
  • Найти x и забыть ответить на вопрос об искомой величине.
Все задания №21 (190)