Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 21 · ФИПИ D70F0075 из 190

Плот и лодка: отправление с задержкой

Расстояние между пристанями А и В равно 108 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А.
К этому времени плот проплыл 48 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 21, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание D70F00.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №21

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Связная запись: обозначения, уравнение, вычисления и ответ.

№ 21.

Решение.

Пусть xx км/ч — собственная скорость лодки, x>3x>3. Тогда по течению скорость x+3x+3 км/ч, против — x−3x-3 км/ч.

Плот двигался 483\dfrac{48}{3} ч. Лодка вышла на час позже, поэтому время её движения:

483−1\displaystyle \frac{48}{3}-1=15\displaystyle =15

Получаем уравнение:

108x+3+108x−3\displaystyle \frac{108}{x+3}+\frac{108}{x-3}=15\displaystyle =15
108(x−3)+108(x+3)\displaystyle 108(x-3)+108(x+3)=15(x2−9)\displaystyle =15(x^2-9)
216x\displaystyle 216 x=15x2−135\displaystyle =15 x^{2} - 135
5x2−72x−45\displaystyle 5 x^{2} - 72 x - 45=0\displaystyle =0
D\displaystyle D=(−72)2−4⋅5⋅(−45)\displaystyle =(-72)^2-4\cdot5\cdot(-45)=6084\displaystyle =6084
x1\displaystyle x_1=72−7810\displaystyle =\frac{72-78}{10}=−35\displaystyle =- \frac{3}{5}
x2\displaystyle x_2=72+7810\displaystyle =\frac{72+78}{10}=15\displaystyle =15

По смыслу задачи x>3x>3. Значение x=−35x=- \dfrac{3}{5} не подходит. Следовательно, x=15x=15.

Ответ: 15  км/ч15\;\text{км/ч}.

На экзамене запишите номер задания, решение и ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим и другой математически верный, обоснованный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти скорость моторной лодки в неподвижной воде.

Идея решения

Вычислим время движения плота и вычтем час задержки. Это время лодки на два участка: по течению и против течения.

Между пристанями
108 км
Путь плота к возвращению лодки
48 км
Скорость течения
3 км/ч
Задержка старта лодки
1 ч

Находим время движения лодки

Плот движется со скоростью течения 3 км/ч. Лодка вышла на час позже, а завершила путь в момент, когда плот прошёл 48 км.

483\frac{48}{3}=16=16

Время движения плота, ч.

483\frac{48}{3}−1-1=15=15

Время лодки на путь туда и обратно, ч.

Движение по реке

Движение по реке. Учебная схема задания ФИПИ D70F00.
Обозначения на чертеже
  • x — собственная скорость судна.
  • По течению скорости складываются.
  • Против течения скорость течения вычитается.
Учебная схема условная: длины и положение объектов не задают масштаб.
Открыть схему крупнее ↗

Вводим неизвестную скорость

Пусть xx км/ч — собственная скорость лодки, x>3x>3. Тогда по течению скорость x+3x+3 км/ч, против — x−3x-3 км/ч.

Записываем время каждого участка

Используем формулу времени: путь делим на скорость относительно берега.

108x+3\frac{108}{x+3}

Время по течению, ч.

108x−3\frac{108}{x-3}

Время против течения, ч.

Составляем уравнение по условию

Вычислим время движения плота и вычтем час задержки. Это время лодки на два участка: по течению и против течения.

108x+3\frac{108}{x+3}+108x−3+\frac{108}{x-3}=15=15

Уравнение связывает времена из условия.

108(x−3)108(x-3)+108(x+3)+108(x+3)=15(x2−9)=15(x^2-9)

Умножаем на общий знаменатель; он положителен при выбранных ограничениях.

216x216 x=15x2=15 x^{2} −135- 135

Раскрываем скобки и собираем подобные слагаемые.

Решаем квадратное уравнение

Используем формулу корней x=−b±D2ax=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}, где D=b2−4acD=b^2-4ac.

5x25 x^{2} −72x- 72 x −45- 45=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=5,b=5,\quad b=−72,c=-72,\quad c=−45=-45

Коэффициенты записываем вместе со знаками.

DD=(−72)2=(-72)^2−4-4⋅5\cdot5⋅(−45)\cdot(-45)=6084=6084

Вычисляем дискриминант.

D\sqrt{D}=78=78

Извлекаем арифметический квадратный корень.

x1x_1=72−7810=\frac{72-78}{10}=−35=- \frac{3}{5}

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

x2x_2=72+7810=\frac{72+78}{10}=15=15

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

Выбираем подходящую скорость

По смыслу задачи x>3x>3. Значение x=−35x=- \dfrac{3}{5} не подходит. Следовательно, x=15x=15.

Проверяем путь и время

Подставляем найденную скорость в исходные данные.

10818\frac{108}{18}=6=6

Время по течению.

10812\frac{108}{12}=9=9

Время против течения.

11+6+6+9+9=16=16

Плот двигался на час дольше лодки.

3(6+9+1)3(6+9+1)=48=48

За это время плот прошёл расстояние из условия.

Записываем ответ

Найти скорость моторной лодки в неподвижной воде.

15  км/ч15\;\text{км/ч}

Указываем найденную величину и её единицы измерения.

Что проверяет эксперт в задании №21

По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года за задание можно получить до 2 баллов. Оцениваются составленная модель, ход решения и ответ.

2 балла
Ход решения верный и получен правильный ответ.
1 балл
Верно составлена математическая модель, но решение не завершено или содержит ошибки. Либо решение в целом верное, но есть несущественные недостатки или вычислительные ошибки.
0 баллов
Решение не отвечает указанным критериям. Одной записи ответа без обоснования недостаточно.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 и методические материалы для экспертов 2026. Образец записи и подробное объяснение подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены уравнения, ограничения, вычисления и соответствие ответа исходному условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Обозначьте неизвестную скорость и запишите её допустимые значения.
  2. Выразите скорости и времена для каждого участка пути.
  3. Свяжите времена с помощью условия задачи и составьте уравнение.
  4. Покажите преобразования, решите уравнение и отберите допустимый корень.
  5. Проверьте исходное условие и ответьте именно на вопрос задачи.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • При равномерном движении s=vts=vt, поэтому t=svt=\dfrac{s}{v}.
  • При одинаковом пути большая скорость означает меньшее время.
  • Скорость по течению равна v+cv+c, против течения — v−cv-c.
  • Все величины в одном уравнении должны быть в согласованных единицах измерения.
  • Скорость плота равна скорости течения.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Перепутать скорость по течению со скоростью против течения.
  • Сложить времена там, где по условию нужна разность, или наоборот.
  • Учесть стоянку или задержку со знаком, не соответствующим условию.
  • Оставить корень, который нарушает ограничения скорости.
Все задания №21 (190)