Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 21 · ФИПИ D31BDF114 из 190

Два автомобиля: скорость первого

Два автомобиля одновременно отправляются в 400-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 20 км/ч большей, чем второй, и прибывает
к финишу на 1 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 21, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание D31BDF.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №21

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Связная запись: обозначения, уравнение, вычисления и ответ.

№ 21.

Решение.

Пусть xx км/ч — скорость второго автомобиля, x>0x>0. Тогда скорость первого автомобиля равна x+20x+20 км/ч.

По условию получаем уравнение:

400x−400x+20\displaystyle \frac{400}{x}-\frac{400}{x+20}=1\displaystyle =1
400(x+20)−400x\displaystyle 400(x+20)-400x=1x(x+20)\displaystyle =1x(x+20)
8000\displaystyle 8000=1x2+20x\displaystyle =1x^2+20x
x2+20x−8000\displaystyle x^{2} + 20 x - 8000=0\displaystyle =0
D\displaystyle D=202−4⋅1⋅(−8000)\displaystyle =20^2-4\cdot1\cdot(-8000)=32400\displaystyle =32400
x1\displaystyle x_1=−20−1802\displaystyle =\frac{-20-180}{2}=−100\displaystyle =-100
x2\displaystyle x_2=−20+1802\displaystyle =\frac{-20+180}{2}=80\displaystyle =80

По смыслу задачи x>0x>0. Значение x=−100x=-100 не подходит. Следовательно, x=80x=80.

Скорость первого автомобиля:

80+20\displaystyle 80+20=100\displaystyle =100

Ответ: 100  км/ч100\;\text{км/ч}.

На экзамене запишите номер задания, решение и ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим и другой математически верный, обоснованный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти скорость первого автомобиля.

Идея решения

Оба участника преодолевают по 400 км. Тот, чья скорость больше, тратит на 1 ч меньше.

Расстояние
400 км
Разница скоростей
20 км/ч
Разница времени
1 ч

Выбираем неизвестное

Пусть xx км/ч — скорость второго автомобиля, x>0x>0. Тогда скорость первого автомобиля равна x+20x+20 км/ч.

Одинаковый путь — два времени

Одинаковый путь — два времени. Учебная схема задания ФИПИ D31BDF.
Обозначения на чертеже
  • x — меньшая скорость.
  • При одинаковом объёме пути большее время соответствует меньшей скорости.
Учебная схема условная: длины и положение объектов не задают масштаб.
Открыть схему крупнее ↗

Выражаем время

Время равно пути, делённому на скорость.

400x\frac{400}{x}

Время второго автомобиля, ч.

400x+20\frac{400}{x+20}

Время первого автомобиля, ч.

Оба участника преодолевают по 400 км. Тот, чья скорость больше, тратит на 1 ч меньше.

Составляем и преобразуем уравнение

Оба участника преодолевают по 400 км. Тот, чья скорость больше, тратит на 1 ч меньше.

400x\frac{400}{x}−400x+20-\frac{400}{x+20}=1=1

Из большего времени вычитаем меньшее.

400(x+20)400(x+20)−400x-400x=1x(x+20)=1x(x+20)

Умножаем обе части на положительный общий знаменатель x(x+20).

80008000=1x2=1x^2+20x+20x

Раскрываем скобки и сокращаем одинаковые слагаемые.

Решаем квадратное уравнение

Используем формулу корней x=−b±D2ax=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}, где D=b2−4acD=b^2-4ac.

x2x^{2} +20x+ 20 x −8000- 8000=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=1,b=1,\quad b=20,c=20,\quad c=−8000=-8000

Коэффициенты записываем вместе со знаками.

DD=202=20^2−4-4⋅1\cdot1⋅(−8000)\cdot(-8000)=32400=32400

Вычисляем дискриминант.

D\sqrt{D}=180=180

Извлекаем арифметический квадратный корень.

x1x_1=−20−1802=\frac{-20-180}{2}=−100=-100

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

x2x_2=−20+1802=\frac{-20+180}{2}=80=80

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

Отбираем корень и отвечаем на вопрос

По смыслу задачи x>0x>0. Значение x=−100x=-100 не подходит. Следовательно, x=80x=80.

8080+20+20=100=100

Нужна скорость первого автомобиля; прибавляем разницу 20.

Проверяем исходное условие

Вычислим оба времени с найденными значениями.

40080\frac{400}{80}=5=5

Время второго автомобиля, ч.

400100\frac{400}{100}=4=4

Время первого автомобиля, ч.

55−4-4=1=1

Разность времён равна 1 ч, как в условии.

Записываем ответ

Найти скорость первого автомобиля.

100  км/ч100\;\text{км/ч}

Указываем найденную величину и её единицы измерения.

Что проверяет эксперт в задании №21

По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года за задание можно получить до 2 баллов. Оцениваются составленная модель, ход решения и ответ.

2 балла
Ход решения верный и получен правильный ответ.
1 балл
Верно составлена математическая модель, но решение не завершено или содержит ошибки. Либо решение в целом верное, но есть несущественные недостатки или вычислительные ошибки.
0 баллов
Решение не отвечает указанным критериям. Одной записи ответа без обоснования недостаточно.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 и методические материалы для экспертов 2026. Образец записи и подробное объяснение подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены уравнения, ограничения, вычисления и соответствие ответа исходному условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Обозначьте неизвестную скорость и запишите её допустимые значения.
  2. Выразите скорости и времена для каждого участка пути.
  3. Свяжите времена с помощью условия задачи и составьте уравнение.
  4. Покажите преобразования, решите уравнение и отберите допустимый корень.
  5. Проверьте исходное условие и ответьте именно на вопрос задачи.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • При равномерном движении s=vts=vt, поэтому t=svt=\dfrac{s}{v}.
  • При одинаковом пути большая скорость означает меньшее время.
  • Если x>0x>0 и d>0d>0, то x(x+d)>0x(x+d)>0, поэтому общий знаменатель не равен нулю.
  • Для квадратного уравнения ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0: D=b2−4acD=b^2-4ac.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Перепутать, чья скорость обозначена через x.
  • Вычесть большее время из меньшего и приравнять результат положительному числу 1.
  • Принять отрицательный корень.
  • Найти x и забыть ответить на вопрос об увеличенной величине.
Все задания №21 (190)