Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 21 · ФИПИ CEBFAE32 из 190

Теплоход со стоянкой: скорость течения

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 70 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 24 км/ч, стоянка длится
8 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 14 часов после отплытия из него.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 21, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание CEBFAE.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №21

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Связная запись: обозначения, уравнение, вычисления и ответ.

№ 21.

Решение.

Пусть xx км/ч — скорость течения, 0<x<240<x<24. Тогда скорость теплохода по течению 24+x24+x км/ч, против — 24−x24-x км/ч.

Время движения без стоянки:

14−8\displaystyle 14-8=6\displaystyle =6

Получаем уравнение:

7024+x+7024−x\displaystyle \frac{70}{24+x}+\frac{70}{24-x}=6\displaystyle =6
70(24−x)+70(24+x)\displaystyle 70(24-x)+70(24+x)=6(576−x2)\displaystyle =6(576-x^2)
3360\displaystyle 3360=3456−6x2\displaystyle =3456-6x^2
x2−16\displaystyle x^{2} - 16=0\displaystyle =0
x2\displaystyle x^2=16\displaystyle =16
x1\displaystyle x_1=−4,x2\displaystyle =-4,\qquad x_2=4\displaystyle =4

По смыслу задачи 0<x<240<x<24. Значение x=−4x=-4 не подходит. Следовательно, x=4x=4.

Ответ: 4  км/ч4\;\text{км/ч}.

На экзамене запишите номер задания, решение и ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим и другой математически верный, обоснованный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти скорость течения реки.

Идея решения

Из общего времени вычитаем стоянку. Оставшееся время равно сумме времени по течению и против течения.

Путь в каждую сторону
70 км
Скорость без течения
24 км/ч
Стоянка
8 ч
Общее время
14 ч

Находим время движения

Из общего времени 14 ч исключаем стоянку 8 ч.

1414−8-8=6=6

В пути теплоход был столько часов; стоянка сюда не входит.

Движение по реке

Движение по реке. Учебная схема задания ФИПИ CEBFAE.
Обозначения на чертеже
  • x — скорость течения.
  • По течению скорости складываются.
  • Против течения скорость течения вычитается.
Учебная схема условная: длины и положение объектов не задают масштаб.
Открыть схему крупнее ↗

Вводим неизвестную скорость

Пусть xx км/ч — скорость течения, 0<x<240<x<24. Тогда скорость теплохода по течению 24+x24+x км/ч, против — 24−x24-x км/ч.

Записываем время каждого участка

Используем формулу времени: путь делим на скорость относительно берега.

7024+x\frac{70}{24+x}

Время по течению, ч.

7024−x\frac{70}{24-x}

Время против течения, ч.

Составляем уравнение по условию

Из общего времени вычитаем стоянку. Оставшееся время равно сумме времени по течению и против течения.

7024+x\frac{70}{24+x}+7024−x+\frac{70}{24-x}=6=6

Уравнение связывает времена из условия.

70(24−x)70(24-x)+70(24+x)+70(24+x)=6(576−x2)=6(576-x^2)

Умножаем на общий знаменатель; он положителен при выбранных ограничениях.

33603360=3456=3456−6x2-6x^2

Раскрываем скобки и собираем подобные слагаемые.

Находим корни уравнения

Переносим свободный член и делим на коэффициент при квадрате. Если квадрат равен положительному числу, уравнение имеет два противоположных корня.

x2x^{2} −16- 16=0=0

Полученное квадратное уравнение.

x2x^2=16=16

Выражаем квадрат неизвестного.

x1x_1=−4,x2=-4,\qquad x_2=4=4

Оба числа дают нужный квадрат; допустимость проверим по смыслу задачи.

Выбираем подходящую скорость

По смыслу задачи 0<x<240<x<24. Значение x=−4x=-4 не подходит. Следовательно, x=4x=4.

Проверяем путь и время

Подставляем найденную скорость в исходные данные.

7028\frac{70}{28}=52=\frac{5}{2}

Время по течению.

7020\frac{70}{20}=72=\frac{7}{2}

Время против течения.

52\frac{5}{2}+72+\frac{7}{2}+8+8=14=14

Добавляем стоянку и получаем полное время из условия.

Записываем ответ

Найти скорость течения реки.

4  км/ч4\;\text{км/ч}

Указываем найденную величину и её единицы измерения.

Что проверяет эксперт в задании №21

По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года за задание можно получить до 2 баллов. Оцениваются составленная модель, ход решения и ответ.

2 балла
Ход решения верный и получен правильный ответ.
1 балл
Верно составлена математическая модель, но решение не завершено или содержит ошибки. Либо решение в целом верное, но есть несущественные недостатки или вычислительные ошибки.
0 баллов
Решение не отвечает указанным критериям. Одной записи ответа без обоснования недостаточно.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 и методические материалы для экспертов 2026. Образец записи и подробное объяснение подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены уравнения, ограничения, вычисления и соответствие ответа исходному условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Обозначьте неизвестную скорость и запишите её допустимые значения.
  2. Выразите скорости и времена для каждого участка пути.
  3. Свяжите времена с помощью условия задачи и составьте уравнение.
  4. Покажите преобразования, решите уравнение и отберите допустимый корень.
  5. Проверьте исходное условие и ответьте именно на вопрос задачи.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • При равномерном движении s=vts=vt, поэтому t=svt=\dfrac{s}{v}.
  • При одинаковом пути большая скорость означает меньшее время.
  • Скорость по течению равна v+cv+c, против течения — v−cv-c.
  • Все величины в одном уравнении должны быть в согласованных единицах измерения.
  • Время стоянки не включают во время движения.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Перепутать скорость по течению со скоростью против течения.
  • Сложить времена там, где по условию нужна разность, или наоборот.
  • Учесть стоянку или задержку со знаком, не соответствующим условию.
  • Оставить корень, который нарушает ограничения скорости.
Все задания №21 (190)