Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 21 · ФИПИ 72795D120 из 190

Два автомобиля: скорость первого

Два автомобиля одновременно отправляются в 900-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 30 км/ч большей, чем второй, и прибывает
к финишу на 5 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 21, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 72795D.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №21

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Связная запись: обозначения, уравнение, вычисления и ответ.

№ 21.

Решение.

Пусть xx км/ч — скорость второго автомобиля, x>0x>0. Тогда скорость первого автомобиля равна x+30x+30 км/ч.

По условию получаем уравнение:

900x−900x+30\displaystyle \frac{900}{x}-\frac{900}{x+30}=5\displaystyle =5
900(x+30)−900x\displaystyle 900(x+30)-900x=5x(x+30)\displaystyle =5x(x+30)
27000\displaystyle 27000=5x2+150x\displaystyle =5x^2+150x
x2+30x−5400\displaystyle x^{2} + 30 x - 5400=0\displaystyle =0
D\displaystyle D=302−4⋅1⋅(−5400)\displaystyle =30^2-4\cdot1\cdot(-5400)=22500\displaystyle =22500
x1\displaystyle x_1=−30−1502\displaystyle =\frac{-30-150}{2}=−90\displaystyle =-90
x2\displaystyle x_2=−30+1502\displaystyle =\frac{-30+150}{2}=60\displaystyle =60

По смыслу задачи x>0x>0. Значение x=−90x=-90 не подходит. Следовательно, x=60x=60.

Скорость первого автомобиля:

60+30\displaystyle 60+30=90\displaystyle =90

Ответ: 90  км/ч90\;\text{км/ч}.

На экзамене запишите номер задания, решение и ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим и другой математически верный, обоснованный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти скорость первого автомобиля.

Идея решения

Оба участника преодолевают по 900 км. Тот, чья скорость больше, тратит на 5 ч меньше.

Расстояние
900 км
Разница скоростей
30 км/ч
Разница времени
5 ч

Выбираем неизвестное

Пусть xx км/ч — скорость второго автомобиля, x>0x>0. Тогда скорость первого автомобиля равна x+30x+30 км/ч.

Одинаковый путь — два времени

Одинаковый путь — два времени. Учебная схема задания ФИПИ 72795D.
Обозначения на чертеже
  • x — меньшая скорость.
  • При одинаковом объёме пути большее время соответствует меньшей скорости.
Учебная схема условная: длины и положение объектов не задают масштаб.
Открыть схему крупнее ↗

Выражаем время

Время равно пути, делённому на скорость.

900x\frac{900}{x}

Время второго автомобиля, ч.

900x+30\frac{900}{x+30}

Время первого автомобиля, ч.

Оба участника преодолевают по 900 км. Тот, чья скорость больше, тратит на 5 ч меньше.

Составляем и преобразуем уравнение

Оба участника преодолевают по 900 км. Тот, чья скорость больше, тратит на 5 ч меньше.

900x\frac{900}{x}−900x+30-\frac{900}{x+30}=5=5

Из большего времени вычитаем меньшее.

900(x+30)900(x+30)−900x-900x=5x(x+30)=5x(x+30)

Умножаем обе части на положительный общий знаменатель x(x+30).

2700027000=5x2=5x^2+150x+150x

Раскрываем скобки и сокращаем одинаковые слагаемые.

Решаем квадратное уравнение

Используем формулу корней x=−b±D2ax=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}, где D=b2−4acD=b^2-4ac.

x2x^{2} +30x+ 30 x −5400- 5400=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=1,b=1,\quad b=30,c=30,\quad c=−5400=-5400

Коэффициенты записываем вместе со знаками.

DD=302=30^2−4-4⋅1\cdot1⋅(−5400)\cdot(-5400)=22500=22500

Вычисляем дискриминант.

D\sqrt{D}=150=150

Извлекаем арифметический квадратный корень.

x1x_1=−30−1502=\frac{-30-150}{2}=−90=-90

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

x2x_2=−30+1502=\frac{-30+150}{2}=60=60

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

Отбираем корень и отвечаем на вопрос

По смыслу задачи x>0x>0. Значение x=−90x=-90 не подходит. Следовательно, x=60x=60.

6060+30+30=90=90

Нужна скорость первого автомобиля; прибавляем разницу 30.

Проверяем исходное условие

Вычислим оба времени с найденными значениями.

90060\frac{900}{60}=15=15

Время второго автомобиля, ч.

90090\frac{900}{90}=10=10

Время первого автомобиля, ч.

1515−10-10=5=5

Разность времён равна 5 ч, как в условии.

Записываем ответ

Найти скорость первого автомобиля.

90  км/ч90\;\text{км/ч}

Указываем найденную величину и её единицы измерения.

Что проверяет эксперт в задании №21

По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года за задание можно получить до 2 баллов. Оцениваются составленная модель, ход решения и ответ.

2 балла
Ход решения верный и получен правильный ответ.
1 балл
Верно составлена математическая модель, но решение не завершено или содержит ошибки. Либо решение в целом верное, но есть несущественные недостатки или вычислительные ошибки.
0 баллов
Решение не отвечает указанным критериям. Одной записи ответа без обоснования недостаточно.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 и методические материалы для экспертов 2026. Образец записи и подробное объяснение подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены уравнения, ограничения, вычисления и соответствие ответа исходному условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Обозначьте неизвестную скорость и запишите её допустимые значения.
  2. Выразите скорости и времена для каждого участка пути.
  3. Свяжите времена с помощью условия задачи и составьте уравнение.
  4. Покажите преобразования, решите уравнение и отберите допустимый корень.
  5. Проверьте исходное условие и ответьте именно на вопрос задачи.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • При равномерном движении s=vts=vt, поэтому t=svt=\dfrac{s}{v}.
  • При одинаковом пути большая скорость означает меньшее время.
  • Если x>0x>0 и d>0d>0, то x(x+d)>0x(x+d)>0, поэтому общий знаменатель не равен нулю.
  • Для квадратного уравнения ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0: D=b2−4acD=b^2-4ac.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Перепутать, чья скорость обозначена через x.
  • Вычесть большее время из меньшего и приравнять результат положительному числу 5.
  • Принять отрицательный корень.
  • Найти x и забыть ответить на вопрос об увеличенной величине.
Все задания №21 (190)