Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 21 · ФИПИ AE6B7314 из 190

Теплоход со стоянкой: скорость течения

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 165 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 26 км/ч, стоянка длится
5 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 18 часов после отплытия из него.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 21, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание AE6B73.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №21

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Связная запись: обозначения, уравнение, вычисления и ответ.

№ 21.

Решение.

Пусть xx км/ч — скорость течения, 0<x<260<x<26. Тогда скорость теплохода по течению 26+x26+x км/ч, против — 26−x26-x км/ч.

Время движения без стоянки:

18−5\displaystyle 18-5=13\displaystyle =13

Получаем уравнение:

16526+x+16526−x\displaystyle \frac{165}{26+x}+\frac{165}{26-x}=13\displaystyle =13
165(26−x)+165(26+x)\displaystyle 165(26-x)+165(26+x)=13(676−x2)\displaystyle =13(676-x^2)
8580\displaystyle 8580=8788−13x2\displaystyle =8788-13x^2
x2−16\displaystyle x^{2} - 16=0\displaystyle =0
x2\displaystyle x^2=16\displaystyle =16
x1\displaystyle x_1=−4,x2\displaystyle =-4,\qquad x_2=4\displaystyle =4

По смыслу задачи 0<x<260<x<26. Значение x=−4x=-4 не подходит. Следовательно, x=4x=4.

Ответ: 4  км/ч4\;\text{км/ч}.

На экзамене запишите номер задания, решение и ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим и другой математически верный, обоснованный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти скорость течения реки.

Идея решения

Из общего времени вычитаем стоянку. Оставшееся время равно сумме времени по течению и против течения.

Путь в каждую сторону
165 км
Скорость без течения
26 км/ч
Стоянка
5 ч
Общее время
18 ч

Находим время движения

Из общего времени 18 ч исключаем стоянку 5 ч.

1818−5-5=13=13

В пути теплоход был столько часов; стоянка сюда не входит.

Движение по реке

Движение по реке. Учебная схема задания ФИПИ AE6B73.
Обозначения на чертеже
  • x — скорость течения.
  • По течению скорости складываются.
  • Против течения скорость течения вычитается.
Учебная схема условная: длины и положение объектов не задают масштаб.
Открыть схему крупнее ↗

Вводим неизвестную скорость

Пусть xx км/ч — скорость течения, 0<x<260<x<26. Тогда скорость теплохода по течению 26+x26+x км/ч, против — 26−x26-x км/ч.

Записываем время каждого участка

Используем формулу времени: путь делим на скорость относительно берега.

16526+x\frac{165}{26+x}

Время по течению, ч.

16526−x\frac{165}{26-x}

Время против течения, ч.

Составляем уравнение по условию

Из общего времени вычитаем стоянку. Оставшееся время равно сумме времени по течению и против течения.

16526+x\frac{165}{26+x}+16526−x+\frac{165}{26-x}=13=13

Уравнение связывает времена из условия.

165(26−x)165(26-x)+165(26+x)+165(26+x)=13(676−x2)=13(676-x^2)

Умножаем на общий знаменатель; он положителен при выбранных ограничениях.

85808580=8788=8788−13x2-13x^2

Раскрываем скобки и собираем подобные слагаемые.

Находим корни уравнения

Переносим свободный член и делим на коэффициент при квадрате. Если квадрат равен положительному числу, уравнение имеет два противоположных корня.

x2x^{2} −16- 16=0=0

Полученное квадратное уравнение.

x2x^2=16=16

Выражаем квадрат неизвестного.

x1x_1=−4,x2=-4,\qquad x_2=4=4

Оба числа дают нужный квадрат; допустимость проверим по смыслу задачи.

Выбираем подходящую скорость

По смыслу задачи 0<x<260<x<26. Значение x=−4x=-4 не подходит. Следовательно, x=4x=4.

Проверяем путь и время

Подставляем найденную скорость в исходные данные.

16530\frac{165}{30}=112=\frac{11}{2}

Время по течению.

16522\frac{165}{22}=152=\frac{15}{2}

Время против течения.

112\frac{11}{2}+152+\frac{15}{2}+5+5=18=18

Добавляем стоянку и получаем полное время из условия.

Записываем ответ

Найти скорость течения реки.

4  км/ч4\;\text{км/ч}

Указываем найденную величину и её единицы измерения.

Что проверяет эксперт в задании №21

По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года за задание можно получить до 2 баллов. Оцениваются составленная модель, ход решения и ответ.

2 балла
Ход решения верный и получен правильный ответ.
1 балл
Верно составлена математическая модель, но решение не завершено или содержит ошибки. Либо решение в целом верное, но есть несущественные недостатки или вычислительные ошибки.
0 баллов
Решение не отвечает указанным критериям. Одной записи ответа без обоснования недостаточно.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 и методические материалы для экспертов 2026. Образец записи и подробное объяснение подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены уравнения, ограничения, вычисления и соответствие ответа исходному условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Обозначьте неизвестную скорость и запишите её допустимые значения.
  2. Выразите скорости и времена для каждого участка пути.
  3. Свяжите времена с помощью условия задачи и составьте уравнение.
  4. Покажите преобразования, решите уравнение и отберите допустимый корень.
  5. Проверьте исходное условие и ответьте именно на вопрос задачи.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • При равномерном движении s=vts=vt, поэтому t=svt=\dfrac{s}{v}.
  • При одинаковом пути большая скорость означает меньшее время.
  • Скорость по течению равна v+cv+c, против течения — v−cv-c.
  • Все величины в одном уравнении должны быть в согласованных единицах измерения.
  • Время стоянки не включают во время движения.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Перепутать скорость по течению со скоростью против течения.
  • Сложить времена там, где по условию нужна разность, или наоборот.
  • Учесть стоянку или задержку со знаком, не соответствующим условию.
  • Оставить корень, который нарушает ограничения скорости.
Все задания №21 (190)