ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 21 · ФИПИ 16183A179 из 190

Трубы: производительность первой трубы

Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 200 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба?

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 21, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 16183A.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №21

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Связная запись: обозначения, уравнение, вычисления и ответ.

№ 21.

Решение.

Пусть $x$ л/мин — производительность первой трубы, $x>0$ . Тогда производительность второй трубы равна $x+5$ л/мин.

По условию получаем уравнение:

\displaystyle \frac{200}{x}-\frac{200}{x+5}

\displaystyle =2

\displaystyle 200(x+5)-200x

\displaystyle =2x(x+5)

\displaystyle 1000

\displaystyle =2x^2+10x

\displaystyle x^{2} + 5 x - 500

\displaystyle =0

\displaystyle D

\displaystyle =5^2-4\cdot1\cdot(-500)

\displaystyle =2025

\displaystyle x_1

\displaystyle =\frac{-5-45}{2}

\displaystyle =-25

\displaystyle x_2

\displaystyle =\frac{-5+45}{2}

\displaystyle =20

По смыслу задачи $x>0$ . Значение $x=-25$ не подходит. Следовательно, $x=20$ .

Ответ: $20\;\text{л/мин}$ .

На экзамене запишите номер задания, решение и ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим и другой математически верный, обоснованный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти производительность первой трубы.

Идея решения

При одинаковом объёме работы большая производительность даёт меньшее время. Время первой трубы больше времени второй трубы на 2 мин.

Объём резервуара: 200 л
Разница производительностей: 5 л/мин
Разница времени: 2 мин

Выбираем неизвестное

Пусть $x$ л/мин — производительность первой трубы, $x>0$ . Тогда производительность второй трубы равна $x+5$ л/мин.

Один объём — два времени. Учебная схема задания ФИПИ 16183A. — Учебная схема условная: длины и положение объектов не задают масштаб.

Выражаем время

Время равно объёму работы, делённому на производительность.

\frac{200}{x}

Время первой трубы, мин.

\frac{200}{x+5}

Время второй трубы, мин.

Составляем и преобразуем уравнение

\frac{200}{x}

-\frac{200}{x+5}

=2

Из большего времени вычитаем меньшее.

200(x+5)

-200x

=2x(x+5)

Умножаем обе части на положительный общий знаменатель x(x+5).

1000

=2x^2

+10x

Раскрываем скобки и сокращаем одинаковые слагаемые.

Решаем квадратное уравнение

Используем формулу корней $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$ , где $D=b^2-4ac$ .

x^{2}

+ 5 x

- 500

=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

a

=1,\quad b

=5,\quad c

=-500

Коэффициенты записываем вместе со знаками.

D

=5^2

-4

\cdot1

\cdot(-500)

=2025

Вычисляем дискриминант.

\sqrt{D}

=45

Извлекаем арифметический квадратный корень.

x_1

=\frac{-5-45}{2}

=-25

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

x_2

=\frac{-5+45}{2}

=20

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

Отбираем корень и отвечаем на вопрос

По смыслу задачи $x>0$ . Значение $x=-25$ не подходит. Следовательно, $x=20$ .

Полученное x уже является искомой величиной.

Проверяем исходное условие

Вычислим оба времени с найденными значениями.

\frac{200}{20}

=10

Время первой трубы, мин.

\frac{200}{25}

=8

Время второй трубы, мин.

10

-8

=2

Разность времён равна 2 мин, как в условии.

Записываем ответ

Найти производительность первой трубы.

20\;\text{л/мин}

Указываем найденную величину и её единицы измерения.

Что проверяет эксперт в задании №21

По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года за задание можно получить до 2 баллов. Оцениваются составленная модель, ход решения и ответ.

2 балла: Ход решения верный и получен правильный ответ.
1 балл: Верно составлена математическая модель, но решение не завершено или содержит ошибки. Либо решение в целом верное, но есть несущественные недостатки или вычислительные ошибки.
0 баллов: Решение не отвечает указанным критериям. Одной записи ответа без обоснования недостаточно.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 и методические материалы для экспертов 2026. Образец записи и подробное объяснение подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Пояснено, что обозначает неизвестное, и учтены ограничения по смыслу задачи.Уравнение или расчёт соответствует исходному условию; существенные вычисления показаны.Выбран подходящий результат, проверены исходные данные и записан ответ на вопрос задачи.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены уравнения, ограничения, вычисления и соответствие ответа исходному условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Обозначьте меньшую производительность через x.
Разделите объём работы на каждую производительность.
Из большего времени вычтите меньшее.
Решите уравнение и сохраните положительный корень.
Найдите величину из вопроса задачи и проверьте времена.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Время выполнения заказа: $t=\dfrac{A}{p}$ , где A — объём работы, p — производительность.
Литры и минуты нельзя смешивать с другими единицами без перевода.
Если $x>0$ и $d>0$ , то $x(x+d)>0$ , поэтому общий знаменатель не равен нулю.
Для квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$ : $D=b^2-4ac$ .

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Перепутать, чья производительность обозначена через x.
Вычесть большее время из меньшего и приравнять результат положительному числу 2.
Принять отрицательный корень.
Найти x и забыть ответить на вопрос об искомой величине.

Все задания №21 (190)

Трубы: производительность первой трубы

Сначала решите на бумаге

Решаем и оформляем задание №21

Решение.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

1Выбираем неизвестное

Один объём — два времени

2Выражаем время

3Составляем и преобразуем уравнение

4Решаем квадратное уравнение

5Отбираем корень и отвечаем на вопрос

6Проверяем исходное условие

7Записываем ответ