Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 21 · ФИПИ 29D10F73 из 190

Два автомобиля: скорость первого

Два автомобиля одновременно отправляются в 600-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 20 км/ч большей, чем второй, и прибывает
к финишу на 1 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 21, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 29D10F.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №21

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Связная запись: обозначения, уравнение, вычисления и ответ.

№ 21.

Решение.

Пусть xx км/ч — скорость второго автомобиля, x>0x>0. Тогда скорость первого автомобиля равна x+20x+20 км/ч.

По условию получаем уравнение:

600x−600x+20\displaystyle \frac{600}{x}-\frac{600}{x+20}=1\displaystyle =1
600(x+20)−600x\displaystyle 600(x+20)-600x=1x(x+20)\displaystyle =1x(x+20)
12000\displaystyle 12000=1x2+20x\displaystyle =1x^2+20x
x2+20x−12000\displaystyle x^{2} + 20 x - 12000=0\displaystyle =0
D\displaystyle D=202−4⋅1⋅(−12000)\displaystyle =20^2-4\cdot1\cdot(-12000)=48400\displaystyle =48400
x1\displaystyle x_1=−20−2202\displaystyle =\frac{-20-220}{2}=−120\displaystyle =-120
x2\displaystyle x_2=−20+2202\displaystyle =\frac{-20+220}{2}=100\displaystyle =100

По смыслу задачи x>0x>0. Значение x=−120x=-120 не подходит. Следовательно, x=100x=100.

Скорость первого автомобиля:

100+20\displaystyle 100+20=120\displaystyle =120

Ответ: 120  км/ч120\;\text{км/ч}.

На экзамене запишите номер задания, решение и ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим и другой математически верный, обоснованный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти скорость первого автомобиля.

Идея решения

Оба участника преодолевают по 600 км. Тот, чья скорость больше, тратит на 1 ч меньше.

Расстояние
600 км
Разница скоростей
20 км/ч
Разница времени
1 ч

Выбираем неизвестное

Пусть xx км/ч — скорость второго автомобиля, x>0x>0. Тогда скорость первого автомобиля равна x+20x+20 км/ч.

Одинаковый путь — два времени

Одинаковый путь — два времени. Учебная схема задания ФИПИ 29D10F.
Обозначения на чертеже
  • x — меньшая скорость.
  • При одинаковом объёме пути большее время соответствует меньшей скорости.
Учебная схема условная: длины и положение объектов не задают масштаб.
Открыть схему крупнее ↗

Выражаем время

Время равно пути, делённому на скорость.

600x\frac{600}{x}

Время второго автомобиля, ч.

600x+20\frac{600}{x+20}

Время первого автомобиля, ч.

Оба участника преодолевают по 600 км. Тот, чья скорость больше, тратит на 1 ч меньше.

Составляем и преобразуем уравнение

Оба участника преодолевают по 600 км. Тот, чья скорость больше, тратит на 1 ч меньше.

600x\frac{600}{x}−600x+20-\frac{600}{x+20}=1=1

Из большего времени вычитаем меньшее.

600(x+20)600(x+20)−600x-600x=1x(x+20)=1x(x+20)

Умножаем обе части на положительный общий знаменатель x(x+20).

1200012000=1x2=1x^2+20x+20x

Раскрываем скобки и сокращаем одинаковые слагаемые.

Решаем квадратное уравнение

Используем формулу корней x=−b±D2ax=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}, где D=b2−4acD=b^2-4ac.

x2x^{2} +20x+ 20 x −12000- 12000=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=1,b=1,\quad b=20,c=20,\quad c=−12000=-12000

Коэффициенты записываем вместе со знаками.

DD=202=20^2−4-4⋅1\cdot1⋅(−12000)\cdot(-12000)=48400=48400

Вычисляем дискриминант.

D\sqrt{D}=220=220

Извлекаем арифметический квадратный корень.

x1x_1=−20−2202=\frac{-20-220}{2}=−120=-120

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

x2x_2=−20+2202=\frac{-20+220}{2}=100=100

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

Отбираем корень и отвечаем на вопрос

По смыслу задачи x>0x>0. Значение x=−120x=-120 не подходит. Следовательно, x=100x=100.

100100+20+20=120=120

Нужна скорость первого автомобиля; прибавляем разницу 20.

Проверяем исходное условие

Вычислим оба времени с найденными значениями.

600100\frac{600}{100}=6=6

Время второго автомобиля, ч.

600120\frac{600}{120}=5=5

Время первого автомобиля, ч.

66−5-5=1=1

Разность времён равна 1 ч, как в условии.

Записываем ответ

Найти скорость первого автомобиля.

120  км/ч120\;\text{км/ч}

Указываем найденную величину и её единицы измерения.

Что проверяет эксперт в задании №21

По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года за задание можно получить до 2 баллов. Оцениваются составленная модель, ход решения и ответ.

2 балла
Ход решения верный и получен правильный ответ.
1 балл
Верно составлена математическая модель, но решение не завершено или содержит ошибки. Либо решение в целом верное, но есть несущественные недостатки или вычислительные ошибки.
0 баллов
Решение не отвечает указанным критериям. Одной записи ответа без обоснования недостаточно.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 и методические материалы для экспертов 2026. Образец записи и подробное объяснение подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены уравнения, ограничения, вычисления и соответствие ответа исходному условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Обозначьте неизвестную скорость и запишите её допустимые значения.
  2. Выразите скорости и времена для каждого участка пути.
  3. Свяжите времена с помощью условия задачи и составьте уравнение.
  4. Покажите преобразования, решите уравнение и отберите допустимый корень.
  5. Проверьте исходное условие и ответьте именно на вопрос задачи.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • При равномерном движении s=vts=vt, поэтому t=svt=\dfrac{s}{v}.
  • При одинаковом пути большая скорость означает меньшее время.
  • Если x>0x>0 и d>0d>0, то x(x+d)>0x(x+d)>0, поэтому общий знаменатель не равен нулю.
  • Для квадратного уравнения ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0: D=b2−4acD=b^2-4ac.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Перепутать, чья скорость обозначена через x.
  • Вычесть большее время из меньшего и приравнять результат положительному числу 1.
  • Принять отрицательный корень.
  • Найти x и забыть ответить на вопрос об увеличенной величине.
Все задания №21 (190)