Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 21 · ФИПИ 4CD6F961 из 190

Автомобили: равные половины пути и время

Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал
весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути
со скоростью 78 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью больше скорости первого на 7 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 21, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 4CD6F9.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №21

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Связная запись: обозначения, уравнение, вычисления и ответ.

№ 21.

Решение.

Пусть xx км/ч — скорость первого автомобиля, x>0x>0. Второй автомобиль ехал первую половину пути со скоростью 78 км/ч, вторую — со скоростью x+7x+7 км/ч.

Пусть s>0s>0 км — половина пути. Так как автомобили прибыли одновременно, их времена равны.

2sx\displaystyle \frac{2s}{x}=s78+sx+7\displaystyle =\frac{s}{78}+\frac{s}{x+7}
2x\displaystyle \frac{2}{x}=178+1x+7\displaystyle =\frac{1}{78}+\frac{1}{x+7}
156(x+7)\displaystyle 156(x+7)=x(x+7)+78x\displaystyle =x(x+7)+78x
x2−71x−1092\displaystyle x^{2} - 71 x - 1092=0\displaystyle =0
D\displaystyle D=(−71)2−4⋅1⋅(−1092)\displaystyle =(-71)^2-4\cdot1\cdot(-1092)=9409\displaystyle =9409
x1\displaystyle x_1=71−972\displaystyle =\frac{71-97}{2}=−13\displaystyle =-13
x2\displaystyle x_2=71+972\displaystyle =\frac{71+97}{2}=84\displaystyle =84

По смыслу задачи x>0x>0. Значение x=−13x=-13 не подходит. Следовательно, x=84x=84.

Ответ: 84  км/ч84\;\text{км/ч}.

На экзамене запишите номер задания, решение и ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим и другой математически верный, обоснованный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти скорость первого автомобиля.

Идея решения

Обозначим половину пути через s. Первый автомобиль едет весь путь 2s, второй проходит две равные части с разными скоростями. Приравняем времена и сократим на s.

Первый автомобиль
Постоянная скорость x
Скорости второго
7878 км/ч; x+7x+7 км/ч
Время прибытия
Одинаковое

Обозначаем скорости

Пусть xx км/ч — скорость первого автомобиля, x>0x>0. Второй автомобиль ехал первую половину пути со скоростью 78 км/ч, вторую — со скоростью x+7x+7 км/ч.

Две равные половины пути

Две равные половины пути. Учебная схема задания ФИПИ 4CD6F9.
Обозначения на чертеже
  • Время первой половины находится по её скорости.
  • Время второй половины находится отдельно.
Части пути равны по расстоянию. Их времена могут различаться.
Открыть схему крупнее ↗

Приравниваем времена движения

Пусть s>0s>0 км — половина пути. Так как автомобили прибыли одновременно, их времена равны.

2sx\frac{2s}{x}=s78=\frac{s}{78}+sx+7+\frac{s}{x+7}

Время первого автомобиля равно сумме времён второго.

2x\frac{2}{x}=178=\frac{1}{78}+1x+7+\frac{1}{x+7}

Делим обе части на s, поскольку s положительно.

Избавляемся от знаменателей

Умножаем обе части на общий знаменатель, который не равен нулю при указанных ограничениях.

156(x+7)156(x+7)=x(x+7)=x(x+7)+78x+78x

Раскрытие скобок приводит к квадратному уравнению.

Решаем квадратное уравнение

Используем формулу корней x=−b±D2ax=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}, где D=b2−4acD=b^2-4ac.

x2x^{2} −71x- 71 x −1092- 1092=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=1,b=1,\quad b=−71,c=-71,\quad c=−1092=-1092

Коэффициенты записываем вместе со знаками.

DD=(−71)2=(-71)^2−4-4⋅1\cdot1⋅(−1092)\cdot(-1092)=9409=9409

Вычисляем дискриминант.

D\sqrt{D}=97=97

Извлекаем арифметический квадратный корень.

x1x_1=71−972=\frac{71-97}{2}=−13=-13

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

x2x_2=71+972=\frac{71+97}{2}=84=84

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

Применяем ограничения

По смыслу задачи x>0x>0. Значение x=−13x=-13 не подходит. Следовательно, x=84x=84.

Проверяем равенство времён

Проверим время на единицу половины пути. Умножение обеих частей на любое положительное s сохранит равенство.

284\frac{2}{84}=178=\frac{1}{78}+191+\frac{1}{91}

Равенство времён действительно выполняется.

Скорости положительны.

Записываем ответ

Найти скорость первого автомобиля.

84  км/ч84\;\text{км/ч}

Указываем найденную величину и её единицы измерения.

Что проверяет эксперт в задании №21

По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года за задание можно получить до 2 баллов. Оцениваются составленная модель, ход решения и ответ.

2 балла
Ход решения верный и получен правильный ответ.
1 балл
Верно составлена математическая модель, но решение не завершено или содержит ошибки. Либо решение в целом верное, но есть несущественные недостатки или вычислительные ошибки.
0 баллов
Решение не отвечает указанным критериям. Одной записи ответа без обоснования недостаточно.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 и методические материалы для экспертов 2026. Образец записи и подробное объяснение подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены уравнения, ограничения, вычисления и соответствие ответа исходному условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Обозначьте неизвестную скорость через x, половину пути — через s.
  2. Запишите время первого автомобиля и сумму времён второго.
  3. Приравняйте времена и сократите положительный множитель s.
  4. Решите квадратное уравнение.
  5. Выберите корень с учётом всех ограничений из условия.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Для половины пути s время равно sv\dfrac{s}{v}.
  • Для всего пути 2s время равно 2sv\dfrac{2s}{v}.
  • Средняя скорость на равных расстояниях не равна обычному среднему двух скоростей.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Забыть, что первый автомобиль проходит весь путь, а не половину.
  • Усреднить скорости вместо сравнения времён.
  • Оставить отрицательную скорость.
Все задания №21 (190)