Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 21 · ФИПИ E7F8AD132 из 190

Два автомобиля: скорость первого

Два автомобиля одновременно отправляются в 990-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 20 км/ч большей, чем второй, и прибывает
к финишу на 2 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 21, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание E7F8AD.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №21

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Связная запись: обозначения, уравнение, вычисления и ответ.

№ 21.

Решение.

Пусть xx км/ч — скорость второго автомобиля, x>0x>0. Тогда скорость первого автомобиля равна x+20x+20 км/ч.

По условию получаем уравнение:

990x−990x+20\displaystyle \frac{990}{x}-\frac{990}{x+20}=2\displaystyle =2
990(x+20)−990x\displaystyle 990(x+20)-990x=2x(x+20)\displaystyle =2x(x+20)
19800\displaystyle 19800=2x2+40x\displaystyle =2x^2+40x
x2+20x−9900\displaystyle x^{2} + 20 x - 9900=0\displaystyle =0
D\displaystyle D=202−4⋅1⋅(−9900)\displaystyle =20^2-4\cdot1\cdot(-9900)=40000\displaystyle =40000
x1\displaystyle x_1=−20−2002\displaystyle =\frac{-20-200}{2}=−110\displaystyle =-110
x2\displaystyle x_2=−20+2002\displaystyle =\frac{-20+200}{2}=90\displaystyle =90

По смыслу задачи x>0x>0. Значение x=−110x=-110 не подходит. Следовательно, x=90x=90.

Скорость первого автомобиля:

90+20\displaystyle 90+20=110\displaystyle =110

Ответ: 110  км/ч110\;\text{км/ч}.

На экзамене запишите номер задания, решение и ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим и другой математически верный, обоснованный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти скорость первого автомобиля.

Идея решения

Оба участника преодолевают по 990 км. Тот, чья скорость больше, тратит на 2 ч меньше.

Расстояние
990 км
Разница скоростей
20 км/ч
Разница времени
2 ч

Выбираем неизвестное

Пусть xx км/ч — скорость второго автомобиля, x>0x>0. Тогда скорость первого автомобиля равна x+20x+20 км/ч.

Одинаковый путь — два времени

Одинаковый путь — два времени. Учебная схема задания ФИПИ E7F8AD.
Обозначения на чертеже
  • x — меньшая скорость.
  • При одинаковом объёме пути большее время соответствует меньшей скорости.
Учебная схема условная: длины и положение объектов не задают масштаб.
Открыть схему крупнее ↗

Выражаем время

Время равно пути, делённому на скорость.

990x\frac{990}{x}

Время второго автомобиля, ч.

990x+20\frac{990}{x+20}

Время первого автомобиля, ч.

Оба участника преодолевают по 990 км. Тот, чья скорость больше, тратит на 2 ч меньше.

Составляем и преобразуем уравнение

Оба участника преодолевают по 990 км. Тот, чья скорость больше, тратит на 2 ч меньше.

990x\frac{990}{x}−990x+20-\frac{990}{x+20}=2=2

Из большего времени вычитаем меньшее.

990(x+20)990(x+20)−990x-990x=2x(x+20)=2x(x+20)

Умножаем обе части на положительный общий знаменатель x(x+20).

1980019800=2x2=2x^2+40x+40x

Раскрываем скобки и сокращаем одинаковые слагаемые.

Решаем квадратное уравнение

Используем формулу корней x=−b±D2ax=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}, где D=b2−4acD=b^2-4ac.

x2x^{2} +20x+ 20 x −9900- 9900=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=1,b=1,\quad b=20,c=20,\quad c=−9900=-9900

Коэффициенты записываем вместе со знаками.

DD=202=20^2−4-4⋅1\cdot1⋅(−9900)\cdot(-9900)=40000=40000

Вычисляем дискриминант.

D\sqrt{D}=200=200

Извлекаем арифметический квадратный корень.

x1x_1=−20−2002=\frac{-20-200}{2}=−110=-110

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

x2x_2=−20+2002=\frac{-20+200}{2}=90=90

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

Отбираем корень и отвечаем на вопрос

По смыслу задачи x>0x>0. Значение x=−110x=-110 не подходит. Следовательно, x=90x=90.

9090+20+20=110=110

Нужна скорость первого автомобиля; прибавляем разницу 20.

Проверяем исходное условие

Вычислим оба времени с найденными значениями.

99090\frac{990}{90}=11=11

Время второго автомобиля, ч.

990110\frac{990}{110}=9=9

Время первого автомобиля, ч.

1111−9-9=2=2

Разность времён равна 2 ч, как в условии.

Записываем ответ

Найти скорость первого автомобиля.

110  км/ч110\;\text{км/ч}

Указываем найденную величину и её единицы измерения.

Что проверяет эксперт в задании №21

По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года за задание можно получить до 2 баллов. Оцениваются составленная модель, ход решения и ответ.

2 балла
Ход решения верный и получен правильный ответ.
1 балл
Верно составлена математическая модель, но решение не завершено или содержит ошибки. Либо решение в целом верное, но есть несущественные недостатки или вычислительные ошибки.
0 баллов
Решение не отвечает указанным критериям. Одной записи ответа без обоснования недостаточно.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 и методические материалы для экспертов 2026. Образец записи и подробное объяснение подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены уравнения, ограничения, вычисления и соответствие ответа исходному условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Обозначьте неизвестную скорость и запишите её допустимые значения.
  2. Выразите скорости и времена для каждого участка пути.
  3. Свяжите времена с помощью условия задачи и составьте уравнение.
  4. Покажите преобразования, решите уравнение и отберите допустимый корень.
  5. Проверьте исходное условие и ответьте именно на вопрос задачи.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • При равномерном движении s=vts=vt, поэтому t=svt=\dfrac{s}{v}.
  • При одинаковом пути большая скорость означает меньшее время.
  • Если x>0x>0 и d>0d>0, то x(x+d)>0x(x+d)>0, поэтому общий знаменатель не равен нулю.
  • Для квадратного уравнения ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0: D=b2−4acD=b^2-4ac.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Перепутать, чья скорость обозначена через x.
  • Вычесть большее время из меньшего и приравнять результат положительному числу 2.
  • Принять отрицательный корень.
  • Найти x и забыть ответить на вопрос об увеличенной величине.
Все задания №21 (190)