Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 21 · ФИПИ BE6ABB89 из 190

Два велосипедиста: скорость второго

Два велосипедиста одновременно отправляются в 105-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 16 км/ч большей, чем второй, и прибывает
к финишу на 4 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 21, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание BE6ABB.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №21

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Связная запись: обозначения, уравнение, вычисления и ответ.

№ 21.

Решение.

Пусть xx км/ч — скорость второго велосипедиста, x>0x>0. Тогда скорость первого велосипедиста равна x+16x+16 км/ч.

По условию получаем уравнение:

105x−105x+16\displaystyle \frac{105}{x}-\frac{105}{x+16}=4\displaystyle =4
105(x+16)−105x\displaystyle 105(x+16)-105x=4x(x+16)\displaystyle =4x(x+16)
1680\displaystyle 1680=4x2+64x\displaystyle =4x^2+64x
x2+16x−420\displaystyle x^{2} + 16 x - 420=0\displaystyle =0
D\displaystyle D=162−4⋅1⋅(−420)\displaystyle =16^2-4\cdot1\cdot(-420)=1936\displaystyle =1936
x1\displaystyle x_1=−16−442\displaystyle =\frac{-16-44}{2}=−30\displaystyle =-30
x2\displaystyle x_2=−16+442\displaystyle =\frac{-16+44}{2}=14\displaystyle =14

По смыслу задачи x>0x>0. Значение x=−30x=-30 не подходит. Следовательно, x=14x=14.

Ответ: 14  км/ч14\;\text{км/ч}.

На экзамене запишите номер задания, решение и ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим и другой математически верный, обоснованный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти скорость второго велосипедиста.

Идея решения

Оба участника преодолевают по 105 км. Тот, чья скорость больше, тратит на 4 ч меньше.

Расстояние
105 км
Разница скоростей
16 км/ч
Разница времени
4 ч

Выбираем неизвестное

Пусть xx км/ч — скорость второго велосипедиста, x>0x>0. Тогда скорость первого велосипедиста равна x+16x+16 км/ч.

Одинаковый путь — два времени

Одинаковый путь — два времени. Учебная схема задания ФИПИ BE6ABB.
Обозначения на чертеже
  • x — меньшая скорость.
  • При одинаковом объёме пути большее время соответствует меньшей скорости.
Учебная схема условная: длины и положение объектов не задают масштаб.
Открыть схему крупнее ↗

Выражаем время

Время равно пути, делённому на скорость.

105x\frac{105}{x}

Время второго велосипедиста, ч.

105x+16\frac{105}{x+16}

Время первого велосипедиста, ч.

Оба участника преодолевают по 105 км. Тот, чья скорость больше, тратит на 4 ч меньше.

Составляем и преобразуем уравнение

Оба участника преодолевают по 105 км. Тот, чья скорость больше, тратит на 4 ч меньше.

105x\frac{105}{x}−105x+16-\frac{105}{x+16}=4=4

Из большего времени вычитаем меньшее.

105(x+16)105(x+16)−105x-105x=4x(x+16)=4x(x+16)

Умножаем обе части на положительный общий знаменатель x(x+16).

16801680=4x2=4x^2+64x+64x

Раскрываем скобки и сокращаем одинаковые слагаемые.

Решаем квадратное уравнение

Используем формулу корней x=−b±D2ax=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}, где D=b2−4acD=b^2-4ac.

x2x^{2} +16x+ 16 x −420- 420=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=1,b=1,\quad b=16,c=16,\quad c=−420=-420

Коэффициенты записываем вместе со знаками.

DD=162=16^2−4-4⋅1\cdot1⋅(−420)\cdot(-420)=1936=1936

Вычисляем дискриминант.

D\sqrt{D}=44=44

Извлекаем арифметический квадратный корень.

x1x_1=−16−442=\frac{-16-44}{2}=−30=-30

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

x2x_2=−16+442=\frac{-16+44}{2}=14=14

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

Отбираем корень и отвечаем на вопрос

По смыслу задачи x>0x>0. Значение x=−30x=-30 не подходит. Следовательно, x=14x=14.

Полученное x уже является искомой величиной.

Проверяем исходное условие

Вычислим оба времени с найденными значениями.

10514\frac{105}{14}=152=\frac{15}{2}

Время второго велосипедиста, ч.

10530\frac{105}{30}=72=\frac{7}{2}

Время первого велосипедиста, ч.

152\frac{15}{2}−72-\frac{7}{2}=4=4

Разность времён равна 4 ч, как в условии.

Записываем ответ

Найти скорость второго велосипедиста.

14  км/ч14\;\text{км/ч}

Указываем найденную величину и её единицы измерения.

Что проверяет эксперт в задании №21

По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года за задание можно получить до 2 баллов. Оцениваются составленная модель, ход решения и ответ.

2 балла
Ход решения верный и получен правильный ответ.
1 балл
Верно составлена математическая модель, но решение не завершено или содержит ошибки. Либо решение в целом верное, но есть несущественные недостатки или вычислительные ошибки.
0 баллов
Решение не отвечает указанным критериям. Одной записи ответа без обоснования недостаточно.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 и методические материалы для экспертов 2026. Образец записи и подробное объяснение подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены уравнения, ограничения, вычисления и соответствие ответа исходному условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Обозначьте неизвестную скорость и запишите её допустимые значения.
  2. Выразите скорости и времена для каждого участка пути.
  3. Свяжите времена с помощью условия задачи и составьте уравнение.
  4. Покажите преобразования, решите уравнение и отберите допустимый корень.
  5. Проверьте исходное условие и ответьте именно на вопрос задачи.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • При равномерном движении s=vts=vt, поэтому t=svt=\dfrac{s}{v}.
  • При одинаковом пути большая скорость означает меньшее время.
  • Если x>0x>0 и d>0d>0, то x(x+d)>0x(x+d)>0, поэтому общий знаменатель не равен нулю.
  • Для квадратного уравнения ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0: D=b2−4acD=b^2-4ac.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Перепутать, чья скорость обозначена через x.
  • Вычесть большее время из меньшего и приравнять результат положительному числу 4.
  • Принять отрицательный корень.
  • Найти x и забыть ответить на вопрос об искомой величине.
Все задания №21 (190)