Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 21 · ФИПИ 9EC67883 из 190

Два автомобиля: скорость первого

Два автомобиля одновременно отправляются в 880-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 30 км/ч большей, чем второй, и прибывает
к финишу на 3 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 21, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 9EC678.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №21

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Связная запись: обозначения, уравнение, вычисления и ответ.

№ 21.

Решение.

Пусть xx км/ч — скорость второго автомобиля, x>0x>0. Тогда скорость первого автомобиля равна x+30x+30 км/ч.

По условию получаем уравнение:

880x−880x+30\displaystyle \frac{880}{x}-\frac{880}{x+30}=3\displaystyle =3
880(x+30)−880x\displaystyle 880(x+30)-880x=3x(x+30)\displaystyle =3x(x+30)
26400\displaystyle 26400=3x2+90x\displaystyle =3x^2+90x
x2+30x−8800\displaystyle x^{2} + 30 x - 8800=0\displaystyle =0
D\displaystyle D=302−4⋅1⋅(−8800)\displaystyle =30^2-4\cdot1\cdot(-8800)=36100\displaystyle =36100
x1\displaystyle x_1=−30−1902\displaystyle =\frac{-30-190}{2}=−110\displaystyle =-110
x2\displaystyle x_2=−30+1902\displaystyle =\frac{-30+190}{2}=80\displaystyle =80

По смыслу задачи x>0x>0. Значение x=−110x=-110 не подходит. Следовательно, x=80x=80.

Скорость первого автомобиля:

80+30\displaystyle 80+30=110\displaystyle =110

Ответ: 110  км/ч110\;\text{км/ч}.

На экзамене запишите номер задания, решение и ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим и другой математически верный, обоснованный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти скорость первого автомобиля.

Идея решения

Оба участника преодолевают по 880 км. Тот, чья скорость больше, тратит на 3 ч меньше.

Расстояние
880 км
Разница скоростей
30 км/ч
Разница времени
3 ч

Выбираем неизвестное

Пусть xx км/ч — скорость второго автомобиля, x>0x>0. Тогда скорость первого автомобиля равна x+30x+30 км/ч.

Одинаковый путь — два времени

Одинаковый путь — два времени. Учебная схема задания ФИПИ 9EC678.
Обозначения на чертеже
  • x — меньшая скорость.
  • При одинаковом объёме пути большее время соответствует меньшей скорости.
Учебная схема условная: длины и положение объектов не задают масштаб.
Открыть схему крупнее ↗

Выражаем время

Время равно пути, делённому на скорость.

880x\frac{880}{x}

Время второго автомобиля, ч.

880x+30\frac{880}{x+30}

Время первого автомобиля, ч.

Оба участника преодолевают по 880 км. Тот, чья скорость больше, тратит на 3 ч меньше.

Составляем и преобразуем уравнение

Оба участника преодолевают по 880 км. Тот, чья скорость больше, тратит на 3 ч меньше.

880x\frac{880}{x}−880x+30-\frac{880}{x+30}=3=3

Из большего времени вычитаем меньшее.

880(x+30)880(x+30)−880x-880x=3x(x+30)=3x(x+30)

Умножаем обе части на положительный общий знаменатель x(x+30).

2640026400=3x2=3x^2+90x+90x

Раскрываем скобки и сокращаем одинаковые слагаемые.

Решаем квадратное уравнение

Используем формулу корней x=−b±D2ax=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}, где D=b2−4acD=b^2-4ac.

x2x^{2} +30x+ 30 x −8800- 8800=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=1,b=1,\quad b=30,c=30,\quad c=−8800=-8800

Коэффициенты записываем вместе со знаками.

DD=302=30^2−4-4⋅1\cdot1⋅(−8800)\cdot(-8800)=36100=36100

Вычисляем дискриминант.

D\sqrt{D}=190=190

Извлекаем арифметический квадратный корень.

x1x_1=−30−1902=\frac{-30-190}{2}=−110=-110

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

x2x_2=−30+1902=\frac{-30+190}{2}=80=80

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

Отбираем корень и отвечаем на вопрос

По смыслу задачи x>0x>0. Значение x=−110x=-110 не подходит. Следовательно, x=80x=80.

8080+30+30=110=110

Нужна скорость первого автомобиля; прибавляем разницу 30.

Проверяем исходное условие

Вычислим оба времени с найденными значениями.

88080\frac{880}{80}=11=11

Время второго автомобиля, ч.

880110\frac{880}{110}=8=8

Время первого автомобиля, ч.

1111−8-8=3=3

Разность времён равна 3 ч, как в условии.

Записываем ответ

Найти скорость первого автомобиля.

110  км/ч110\;\text{км/ч}

Указываем найденную величину и её единицы измерения.

Что проверяет эксперт в задании №21

По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года за задание можно получить до 2 баллов. Оцениваются составленная модель, ход решения и ответ.

2 балла
Ход решения верный и получен правильный ответ.
1 балл
Верно составлена математическая модель, но решение не завершено или содержит ошибки. Либо решение в целом верное, но есть несущественные недостатки или вычислительные ошибки.
0 баллов
Решение не отвечает указанным критериям. Одной записи ответа без обоснования недостаточно.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 и методические материалы для экспертов 2026. Образец записи и подробное объяснение подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены уравнения, ограничения, вычисления и соответствие ответа исходному условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Обозначьте неизвестную скорость и запишите её допустимые значения.
  2. Выразите скорости и времена для каждого участка пути.
  3. Свяжите времена с помощью условия задачи и составьте уравнение.
  4. Покажите преобразования, решите уравнение и отберите допустимый корень.
  5. Проверьте исходное условие и ответьте именно на вопрос задачи.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • При равномерном движении s=vts=vt, поэтому t=svt=\dfrac{s}{v}.
  • При одинаковом пути большая скорость означает меньшее время.
  • Если x>0x>0 и d>0d>0, то x(x+d)>0x(x+d)>0, поэтому общий знаменатель не равен нулю.
  • Для квадратного уравнения ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0: D=b2−4acD=b^2-4ac.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Перепутать, чья скорость обозначена через x.
  • Вычесть большее время из меньшего и приравнять результат положительному числу 3.
  • Принять отрицательный корень.
  • Найти x и забыть ответить на вопрос об увеличенной величине.
Все задания №21 (190)