Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 21 · ФИПИ 6F9D81186 из 190

Плот и лодка: отправление с задержкой

Расстояние между пристанями А и В равно 140 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А.
К этому времени плот проплыл 51 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 21, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 6F9D81.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №21

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Связная запись: обозначения, уравнение, вычисления и ответ.

№ 21.

Решение.

Пусть xx км/ч — собственная скорость лодки, x>3x>3. Тогда по течению скорость x+3x+3 км/ч, против — x−3x-3 км/ч.

Плот двигался 513\dfrac{51}{3} ч. Лодка вышла на час позже, поэтому время её движения:

513−1\displaystyle \frac{51}{3}-1=16\displaystyle =16

Получаем уравнение:

140x+3+140x−3\displaystyle \frac{140}{x+3}+\frac{140}{x-3}=16\displaystyle =16
140(x−3)+140(x+3)\displaystyle 140(x-3)+140(x+3)=16(x2−9)\displaystyle =16(x^2-9)
280x\displaystyle 280 x=16x2−144\displaystyle =16 x^{2} - 144
2x2−35x−18\displaystyle 2 x^{2} - 35 x - 18=0\displaystyle =0
D\displaystyle D=(−35)2−4⋅2⋅(−18)\displaystyle =(-35)^2-4\cdot2\cdot(-18)=1369\displaystyle =1369
x1\displaystyle x_1=35−374\displaystyle =\frac{35-37}{4}=−12\displaystyle =- \frac{1}{2}
x2\displaystyle x_2=35+374\displaystyle =\frac{35+37}{4}=18\displaystyle =18

По смыслу задачи x>3x>3. Значение x=−12x=- \dfrac{1}{2} не подходит. Следовательно, x=18x=18.

Ответ: 18  км/ч18\;\text{км/ч}.

На экзамене запишите номер задания, решение и ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим и другой математически верный, обоснованный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти скорость моторной лодки в неподвижной воде.

Идея решения

Вычислим время движения плота и вычтем час задержки. Это время лодки на два участка: по течению и против течения.

Между пристанями
140 км
Путь плота к возвращению лодки
51 км
Скорость течения
3 км/ч
Задержка старта лодки
1 ч

Находим время движения лодки

Плот движется со скоростью течения 3 км/ч. Лодка вышла на час позже, а завершила путь в момент, когда плот прошёл 51 км.

513\frac{51}{3}=17=17

Время движения плота, ч.

513\frac{51}{3}−1-1=16=16

Время лодки на путь туда и обратно, ч.

Движение по реке

Движение по реке. Учебная схема задания ФИПИ 6F9D81.
Обозначения на чертеже
  • x — собственная скорость судна.
  • По течению скорости складываются.
  • Против течения скорость течения вычитается.
Учебная схема условная: длины и положение объектов не задают масштаб.
Открыть схему крупнее ↗

Вводим неизвестную скорость

Пусть xx км/ч — собственная скорость лодки, x>3x>3. Тогда по течению скорость x+3x+3 км/ч, против — x−3x-3 км/ч.

Записываем время каждого участка

Используем формулу времени: путь делим на скорость относительно берега.

140x+3\frac{140}{x+3}

Время по течению, ч.

140x−3\frac{140}{x-3}

Время против течения, ч.

Составляем уравнение по условию

Вычислим время движения плота и вычтем час задержки. Это время лодки на два участка: по течению и против течения.

140x+3\frac{140}{x+3}+140x−3+\frac{140}{x-3}=16=16

Уравнение связывает времена из условия.

140(x−3)140(x-3)+140(x+3)+140(x+3)=16(x2−9)=16(x^2-9)

Умножаем на общий знаменатель; он положителен при выбранных ограничениях.

280x280 x=16x2=16 x^{2} −144- 144

Раскрываем скобки и собираем подобные слагаемые.

Решаем квадратное уравнение

Используем формулу корней x=−b±D2ax=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}, где D=b2−4acD=b^2-4ac.

2x22 x^{2} −35x- 35 x −18- 18=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=2,b=2,\quad b=−35,c=-35,\quad c=−18=-18

Коэффициенты записываем вместе со знаками.

DD=(−35)2=(-35)^2−4-4⋅2\cdot2⋅(−18)\cdot(-18)=1369=1369

Вычисляем дискриминант.

D\sqrt{D}=37=37

Извлекаем арифметический квадратный корень.

x1x_1=35−374=\frac{35-37}{4}=−12=- \frac{1}{2}

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

x2x_2=35+374=\frac{35+37}{4}=18=18

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

Выбираем подходящую скорость

По смыслу задачи x>3x>3. Значение x=−12x=- \dfrac{1}{2} не подходит. Следовательно, x=18x=18.

Проверяем путь и время

Подставляем найденную скорость в исходные данные.

14021\frac{140}{21}=203=\frac{20}{3}

Время по течению.

14015\frac{140}{15}=283=\frac{28}{3}

Время против течения.

11+203+\frac{20}{3}+283+\frac{28}{3}=17=17

Плот двигался на час дольше лодки.

3(203+283+1)3(\frac{20}{3}+\frac{28}{3}+1)=51=51

За это время плот прошёл расстояние из условия.

Записываем ответ

Найти скорость моторной лодки в неподвижной воде.

18  км/ч18\;\text{км/ч}

Указываем найденную величину и её единицы измерения.

Что проверяет эксперт в задании №21

По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года за задание можно получить до 2 баллов. Оцениваются составленная модель, ход решения и ответ.

2 балла
Ход решения верный и получен правильный ответ.
1 балл
Верно составлена математическая модель, но решение не завершено или содержит ошибки. Либо решение в целом верное, но есть несущественные недостатки или вычислительные ошибки.
0 баллов
Решение не отвечает указанным критериям. Одной записи ответа без обоснования недостаточно.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 и методические материалы для экспертов 2026. Образец записи и подробное объяснение подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены уравнения, ограничения, вычисления и соответствие ответа исходному условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Обозначьте неизвестную скорость и запишите её допустимые значения.
  2. Выразите скорости и времена для каждого участка пути.
  3. Свяжите времена с помощью условия задачи и составьте уравнение.
  4. Покажите преобразования, решите уравнение и отберите допустимый корень.
  5. Проверьте исходное условие и ответьте именно на вопрос задачи.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • При равномерном движении s=vts=vt, поэтому t=svt=\dfrac{s}{v}.
  • При одинаковом пути большая скорость означает меньшее время.
  • Скорость по течению равна v+cv+c, против течения — v−cv-c.
  • Все величины в одном уравнении должны быть в согласованных единицах измерения.
  • Скорость плота равна скорости течения.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Перепутать скорость по течению со скоростью против течения.
  • Сложить времена там, где по условию нужна разность, или наоборот.
  • Учесть стоянку или задержку со знаком, не соответствующим условию.
  • Оставить корень, который нарушает ограничения скорости.
Все задания №21 (190)