Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 21 · ФИПИ 99EDEC159 из 190

Бегуны: время прохождения первого круга

Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 3 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 6 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 5 км/ч меньше скорости второго.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 21, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 99EDEC.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №21

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Связная запись: обозначения, уравнение, вычисления и ответ.

№ 21.

Решение.

Пусть xx км/ч — скорость первого бегуна, x>0x>0. Тогда скорость второго равна x+5x+5 км/ч.

Второй пробежал круг за 1−660=9101-\dfrac{6}{60}=\dfrac{9}{10} ч. Длина круга по первому бегуну x+3x+3 км. Поэтому:

x+3\displaystyle x+3=(x+5)910\displaystyle =(x+5)\frac{9}{10}
60x+180\displaystyle 60x+180=54(x+5)\displaystyle =54(x+5)
6x\displaystyle 6x=90\displaystyle =90
x\displaystyle x=906\displaystyle =\frac{90}{6}=15\displaystyle =15

Ответ: 15  км/ч15\;\text{км/ч}.

На экзамене запишите номер задания, решение и ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим и другой математически верный, обоснованный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти скорость первого бегуна.

Идея решения

Выразим длину одного и того же круга двумя способами: через путь первого за час и через время полного круга второго.

До конца круга первому
3 км
Второй закончил раньше на
6 мин
Разница скоростей
5 км/ч

Вводим скорости бегунов

Пусть xx км/ч — скорость первого бегуна, x>0x>0. Тогда скорость второго равна x+5x+5 км/ч.

Один круг — одна длина

Один круг — одна длина. Учебная схема задания ФИПИ 99EDEC.
Обозначения на чертеже
  • За 1 час первый пробежал x км, ещё 3 км осталось.
  • Второй завершил первый круг за 6 мин до этого момента.
Трасса изображена условно; длина круга выводится из условия, а не измеряется на рисунке.
Открыть схему крупнее ↗

Находим время круга второго бегуна

Второй закончил круг за 6 мин до момента, когда от старта прошёл час.

11−660-\frac{6}{60}=910=\frac{9}{10}

Из часа вычитаем указанное число минут, переведённое в часы.

Выражаем длину круга

За один час первый пробежал xx км, и до конца круга ему оставалось 3 км. Поэтому длина круга x+3x+3 км. Второй пробежал эту же длину за найденное время.

xx+3+3=(x+5)910=(x+5)\frac{9}{10}

Приравниваем два выражения одной длины.

Решаем линейное уравнение

Умножаем уравнение на 60 и раскрываем скобки.

60x60x+180+180=54(x+5)=54(x+5)

Избавились от знаменателя 60.

6x6x=90=90

Слагаемые с x переносим влево, числа — вправо.

xx=906=\frac{90}{6}=15=15

Делим на коэффициент при x.

Проверяем данные о круге

Восстановим длину круга и время второго бегуна.

1515+3+3=18=18

Круг длиннее пути первого за час на указанное расстояние.

1820\frac{18}{20}=910=\frac{9}{10}

Время полного круга второго, ч.

(1−910)(1-\frac{9}{10})⋅60\cdot60=6=6

Второй закончил круг именно на столько минут раньше.

Записываем ответ

Найти скорость первого бегуна.

15  км/ч15\;\text{км/ч}

Указываем найденную величину и её единицы измерения.

Что проверяет эксперт в задании №21

По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года за задание можно получить до 2 баллов. Оцениваются составленная модель, ход решения и ответ.

2 балла
Ход решения верный и получен правильный ответ.
1 балл
Верно составлена математическая модель, но решение не завершено или содержит ошибки. Либо решение в целом верное, но есть несущественные недостатки или вычислительные ошибки.
0 баллов
Решение не отвечает указанным критериям. Одной записи ответа без обоснования недостаточно.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 и методические материалы для экспертов 2026. Образец записи и подробное объяснение подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены уравнения, ограничения, вычисления и соответствие ответа исходному условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Обозначьте меньшую скорость через x.
  2. Переведите минуты в часы и найдите время круга второго.
  3. Выразите длину круга по каждому бегуну.
  4. Приравняйте выражения и решите уравнение.
  5. Проверьте время второго и оставшееся первому расстояние.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • При равномерном движении s=vts=vt, поэтому t=svt=\dfrac{s}{v}.
  • Оба бегуна проходят один и тот же круг.
  • За один час путь в километрах численно равен скорости в км/ч.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Считать, что второй бежал полный час до завершения круга.
  • Вычесть оставшееся расстояние из пути первого вместо прибавления.
  • Не перевести минуты в часы.
Все задания №21 (190)