Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 21 · ФИПИ 5B896840 из 190

Велосипедист: обратный путь с остановкой

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 60 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 10 км/ч. По пути он сделал остановку
на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 21, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 5B8968.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №21

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Связная запись: обозначения, уравнение, вычисления и ответ.

№ 21.

Решение.

Пусть xx км/ч — скорость велосипедиста на пути из А в В, x>0x>0. Тогда скорость велосипедиста на обратном пути равна x+10x+10 км/ч.

По условию получаем уравнение:

60x−60x+10\displaystyle \frac{60}{x}-\frac{60}{x+10}=3\displaystyle =3
60(x+10)−60x\displaystyle 60(x+10)-60x=3x(x+10)\displaystyle =3x(x+10)
600\displaystyle 600=3x2+30x\displaystyle =3x^2+30x
x2+10x−200\displaystyle x^{2} + 10 x - 200=0\displaystyle =0
D\displaystyle D=102−4⋅1⋅(−200)\displaystyle =10^2-4\cdot1\cdot(-200)=900\displaystyle =900
x1\displaystyle x_1=−10−302\displaystyle =\frac{-10-30}{2}=−20\displaystyle =-20
x2\displaystyle x_2=−10+302\displaystyle =\frac{-10+30}{2}=10\displaystyle =10

По смыслу задачи x>0x>0. Значение x=−20x=-20 не подходит. Следовательно, x=10x=10.

Скорость велосипедиста на обратном пути:

10+10\displaystyle 10+10=20\displaystyle =20

Ответ: 20  км/ч20\;\text{км/ч}.

На экзамене запишите номер задания, решение и ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим и другой математически верный, обоснованный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти скорость велосипедиста на обратном пути.

Идея решения

На обратном пути велосипедист двигался быстрее, но сделал остановку на 3 ч. Поэтому время движения из А в В больше времени движения обратно на 3 ч.

Расстояние
60 км
Разница скоростей
10 км/ч
Остановка
3 ч

Выбираем неизвестное

Пусть xx км/ч — скорость велосипедиста на пути из А в В, x>0x>0. Тогда скорость велосипедиста на обратном пути равна x+10x+10 км/ч.

Одинаковый путь — два времени

Одинаковый путь — два времени. Учебная схема задания ФИПИ 5B8968.
Обозначения на чертеже
  • x — меньшая скорость.
  • При одинаковом объёме пути большее время соответствует меньшей скорости.
Учебная схема условная: длины и положение объектов не задают масштаб.
Открыть схему крупнее ↗

Выражаем время

Время равно пути, делённому на скорость.

60x\frac{60}{x}

Время велосипедиста на пути из А в В, ч.

60x+10\frac{60}{x+10}

Время велосипедиста на обратном пути, ч.

На обратном пути велосипедист двигался быстрее, но сделал остановку на 3 ч. Поэтому время движения из А в В больше времени движения обратно на 3 ч.

Составляем и преобразуем уравнение

На обратном пути велосипедист двигался быстрее, но сделал остановку на 3 ч. Поэтому время движения из А в В больше времени движения обратно на 3 ч.

60x\frac{60}{x}−60x+10-\frac{60}{x+10}=3=3

Из большего времени вычитаем меньшее.

60(x+10)60(x+10)−60x-60x=3x(x+10)=3x(x+10)

Умножаем обе части на положительный общий знаменатель x(x+10).

600600=3x2=3x^2+30x+30x

Раскрываем скобки и сокращаем одинаковые слагаемые.

Решаем квадратное уравнение

Используем формулу корней x=−b±D2ax=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}, где D=b2−4acD=b^2-4ac.

x2x^{2} +10x+ 10 x −200- 200=0=0

Стандартный вид квадратного уравнения.

aa=1,b=1,\quad b=10,c=10,\quad c=−200=-200

Коэффициенты записываем вместе со знаками.

DD=102=10^2−4-4⋅1\cdot1⋅(−200)\cdot(-200)=900=900

Вычисляем дискриминант.

D\sqrt{D}=30=30

Извлекаем арифметический квадратный корень.

x1x_1=−10−302=\frac{-10-30}{2}=−20=-20

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

x2x_2=−10+302=\frac{-10+30}{2}=10=10

Подставляем числа в формулу корней, затем выполняем деление.

Отбираем корень и отвечаем на вопрос

По смыслу задачи x>0x>0. Значение x=−20x=-20 не подходит. Следовательно, x=10x=10.

1010+10+10=20=20

Нужна скорость велосипедиста на обратном пути; прибавляем разницу 10.

Проверяем исходное условие

Вычислим оба времени с найденными значениями.

6010\frac{60}{10}=6=6

Время велосипедиста на пути из А в В, ч.

6020\frac{60}{20}=3=3

Время велосипедиста на обратном пути, ч.

66−3-3=3=3

Разность времён равна 3 ч, как в условии.

Записываем ответ

Найти скорость велосипедиста на обратном пути.

20  км/ч20\;\text{км/ч}

Указываем найденную величину и её единицы измерения.

Что проверяет эксперт в задании №21

По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года за задание можно получить до 2 баллов. Оцениваются составленная модель, ход решения и ответ.

2 балла
Ход решения верный и получен правильный ответ.
1 балл
Верно составлена математическая модель, но решение не завершено или содержит ошибки. Либо решение в целом верное, но есть несущественные недостатки или вычислительные ошибки.
0 баллов
Решение не отвечает указанным критериям. Одной записи ответа без обоснования недостаточно.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 и методические материалы для экспертов 2026. Образец записи и подробное объяснение подготовлены редакцией «Сдам ГИА».

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены уравнения, ограничения, вычисления и соответствие ответа исходному условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Обозначьте неизвестную скорость и запишите её допустимые значения.
  2. Выразите скорости и времена для каждого участка пути.
  3. Свяжите времена с помощью условия задачи и составьте уравнение.
  4. Покажите преобразования, решите уравнение и отберите допустимый корень.
  5. Проверьте исходное условие и ответьте именно на вопрос задачи.
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • При равномерном движении s=vts=vt, поэтому t=svt=\dfrac{s}{v}.
  • При одинаковом пути большая скорость означает меньшее время.
  • Если x>0x>0 и d>0d>0, то x(x+d)>0x(x+d)>0, поэтому общий знаменатель не равен нулю.
  • Для квадратного уравнения ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0: D=b2−4acD=b^2-4ac.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Перепутать, чья скорость обозначена через x.
  • Вычесть большее время из меньшего и приравнять результат положительному числу 3.
  • Принять отрицательный корень.
  • Найти x и забыть ответить на вопрос об увеличенной величине.
Все задания №21 (190)